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HEATS 发表于 2010-9-12 10:59:37

回转刀具新型刃口设计及虚拟制造的主干通用模型

<H1><FONT size=2>1 引言</FONT></H1>
<DD>回转刀具是加工复杂曲面(如各种模具型面和自由曲面)的重要刀具。回转刀具的设计及数控加工制造受到国内外有关专家的广泛重视。目前国内外主要采用三轴、四轴或五轴联动数控机床加工回转刀具，因此加工成本较高。为降低回转刀具的加工成本，笔者应哈尔滨第二工具厂的要求，与台湾学者合作研究，给出了回转刀具二轴联动加工方案及相关加工模型，并试制了二轴联动加工用锥面铣刀。笔者在台湾成功大学博士学位论文《微分几何在数控加工与切削刀具制造模型之研究》作者吴昌祚的研究以及与台湾成功大学和远东技术学院的合作研究中，发现在加工按传统方法设计的回转刀具时，虽然采用二轴联动加工方案比采用三、四轴联动加工方案可节省大量设备投资，但在工艺上却存在需变换磨削刀具沟槽用砂轮轴瞬时倾角的困难，在实施瞬时砂轮轴定位时需附加较复杂的夹具，造成在单件、小批量生产时将显著增加生产成本。本文通过分析传统的刀具刃口设计在二轴联动数控加工中遇到的问题，提出了解决这一难题的途径，并给出了刀具设计与虚拟制造的主干模型。
<H1><FONT size=2>2 传统刃口设计在二轴联动数控加工中的问题</FONT></H1>
<DD>若将刀具刃口所在回转面方程记为
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle><FONT size=2>r={g(u)，f(u)cosv，f(u)sinv}</FONT></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(1)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>则当刃口曲线与经线(<FONT face=symbol>d</FONT>v=0)成定角<FONT face=symbol>y</FONT>、与轴线(1，0，0)成定角<FONT face=symbol>y</FONT> 时，以及当刃口曲线为等螺距曲线时，刃口曲线满足的微分方程依次为
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>dv<SUB>1</SUB>=tan<FONT face=symbol>y</FONT></FONT></TD>
<TD><FONT size=2>(f'<SUP>2</SUP>+g'<SUP>2</SUP>)<SUP>&frac12;</SUP></FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>du<SUB>1</SUB></FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>f</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(2)</FONT></TD></TR>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>dv<SUB>2</SUB>=</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>(g'<SUP>2</SUP>tan<SUP>2</SUP><FONT face=symbol>y</FONT>-f'<SUP>2</SUP>)<SUP>&frac12;</SUP></FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>du<SUB>2</SUB></FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>f</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(3)</FONT></TD></TR>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>dv<SUB>3</SUB>=</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>g'</SUP> </FONT>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>du<SUB>3</SUB></FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>b</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(4)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>式(2)～(4)即为传统刃口的三种设计模型。式(4)中，b为等螺距刃口的螺旋参数，当螺距为T时，b=T(/2<FONT face=symbol>p</FONT>)。
<DD>二轴联动数控加工回转刀具沟槽时，取回转刀具的回转角速度为dv/dt=<FONT face=symbol>w</FONT>，则刃口上任一点的回转线速度为
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle><FONT size=2>v<SUB>j</SUB>=f<FONT face=symbol>w</FONT></FONT></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(5)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>
<DD>此时，对应于传统刃口的三种设计公式(2)～(4)的轴向进给速度分别为
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>v<SUB>x<SUB>1</SUB></SUB>=g'(u<SUB>1</SUB>)</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>du<SUB>1</SUB></FONT></TD>
<TD><FONT size=2>dv<SUB>1</SUB></FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>=</FONT></TD>
<TD><FONT size=2><FONT face=symbol>w</FONT>fgcot<FONT face=symbol>y</FONT></FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD>
<TD><FONT size=2></FONT></TD>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>dv<SUB>1</SUB></FONT></TD>
<TD><FONT size=2>dt</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>(f'<SUP>2</SUP>+g'<SUP>2</SUP>) <SUP>&frac12;</SUP></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(6)</FONT></TD></TR>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>v<SUB>x<SUB>2</SUB></SUB>=</FONT></TD>
<TD><FONT size=2><FONT face=symbol>w</FONT>fg'</FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>(g'<SUP>2</SUP>tan<SUP>2</SUP><FONT face=symbol>y</FONT>-f'<SUP>2</SUP>)<SUP>&frac12;</SUP></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(7)</FONT></TD></TR>
<TR>
<TD align=middle><FONT size=2>v<SUB>x<SUB>3</SUB></SUB>=b<FONT face=symbol>w</FONT></FONT></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(8)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>
<DD>若磨制刀具刃口和沟槽的砂轮轴线与x 轴成<FONT face=symbol>f</FONT>角，则有
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2><FONT face=symbol>f</FONT>=arctan</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>v<SUB>x</SUB></FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>v<SUB>j</SUB></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(9)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>
<DD>将式(6)～(8)依次代入式(9)，可得
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2><FONT face=symbol>f</FONT><SUB>1</SUB>=arctan</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>g'cot<FONT face=symbol>y</FONT></FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>(f'<SUP>2</SUP>+g'<SUP>2</SUP>)<SUP>&frac12;</SUP></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(10)</FONT></TD></TR>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2><FONT face=symbol>f</FONT><SUB>2</SUB>=arctan</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>g'</FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>(g'<SUP>2</SUP>tan<SUP>2</SUP><FONT face=symbol>y</FONT>-f'<SUP>2</SUP>)<SUP>&frac12;</SUP></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(11)</FONT></TD></TR>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2><FONT face=symbol>f</FONT><SUB>3</SUB>=arctan</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>b</FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>f</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(12)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>
<DD>由式(10)～(12)可知，砂轮轴与回转轴x 的夹角<FONT face=symbol>f</FONT><SUP>i</SUP>(i=1～3)是随参数u的变化而变化的，即随着u的变化，需不断改变砂轮轴与回转轴x的夹角方能实现传统的刃口设计，因此在进行数控加工时，需为实现砂轮轴的定位而增设附加夹具。显然，这对于单件、小批量刀具的生产势必大大增加生产成本。
<H1><FONT size=2>3 新型刃口设计原理及设计模型</FONT></H1>
<DD>根据三种传统刃口设计的定义，只要刃口在特定的回转面内并呈螺旋线状，即可作为一种回转刀具刃口。为了解决传统刃口设计在二轴联动数控加工中遇到的<FONT face=symbol>f</FONT>角变化问题，可先设定<FONT face=symbol>f</FONT>为定值(<FONT face=symbol>f</FONT>=<FONT face=symbol>f</FONT><SUB>0</SUB>)，再逆向求出应当满足的微分方程。按此思路，根据
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>v<SUB>x</SUB>=g'</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>du</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>dv</FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>=<FONT face=symbol>w</FONT>g'</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>du</FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD>
<TD><FONT size=2></FONT></TD>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>dv</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>dt</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>dv</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(13)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>和式(5)，可由式(9)得出
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>tan<FONT face=symbol>f</FONT><SUB>0</SUB>=</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>g'</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>du</FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>f</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>dv</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(14)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>即有
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>du</FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>=</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>ftan<FONT face=symbol>f</FONT><SUB>0</SUB></FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>dv</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>g'</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(15)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>或
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>dv=</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>g'</FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>cot<FONT face=symbol>f</FONT><SUB>0</SUB>du</FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>f</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(16)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>
<DD>若给定初始条件u=u<SUB>0</SUB>时有v=v<SUB>0</SUB>，即可通过对式(16)积分求出v=v(u)，再代入式(1)，即可求出回转面(1)上的新型刃口。
<H1><FONT size=2>4 回转刀具虚拟制造的主干通用模型</FONT></H1>
<DD>考虑到其它文献(任秉银、唐余勇、陈朝光所著《The generalgeometrical models of the design and 2-axis NC machining of ahelical end-mill with constant pitch》)已详细讨论了根据材料等因素优化设计沟槽截形、根据沟槽截形设计磨削用砂轮截形等问题，而新型刃口设计与传统刃口设计的对应模型相同，因此本文对此不再赘述。由于新型刃口设计与传统刃口设计对应的微分方程不同，因此需重新推导，以设计砂轮与回转刀具的相对运动。
<DD>首先，回转刀具的回转角速度为<FONT face=symbol>w</FONT>，相应的回转线速度不变，仍按式(5)计算；其次，由于轴向和径向进给速度与du/dv 相关，因此发生了变化。根据式(5)不难推导出
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>v<SUB>x</SUB>=g'<FONT face=symbol>w</FONT></FONT></TD>
<TD><FONT size=2>du</FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2><FONT face=symbol>w</FONT>fcot<FONT face=symbol>f</FONT><SUB>0</SUB>=vjcot<FONT face=symbol>f</FONT><SUB>0</SUB></FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>dv</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(17)</FONT></TD></TR>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>v<SUB>g</SUB>=-</FONT></TD>
<TD><FONT size=2><SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">r</SPAN>f'</FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>v<SUB>j</SUB>cot<FONT face=symbol>f</FONT><SUB>0</SUB></FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2><SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN>g'</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(18)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE><BR>
<TABLE align=right>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle width=200><FONT size=2><IMG src="http://www.chmcw.com/upload/news/RCL/13220_iqliny20081714396.gif"><BR><B>圆弧形球头铣刀图</B></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>式(18)中，<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN>为回转刀具有螺旋刃口的最大外圆半径，<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">r</SPAN>为此时的芯厚半径。
<DD>根据《The generalgeometrical models of the design and 2-axis NC machining of ahelical end-mill with constant pitch》，瞬时径向进给量s<SUB>g</SUB>应满足以下条件
<TABLE width=380>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>s<SUB>g</SUB></FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>=</FONT></TD>
<TD><SPAN style="TEXT-DECORATION: overline"><FONT size=2>r</FONT></SPAN></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2>f(u)</FONT></TD>
<TD><FONT size=2><SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN>-<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">r</SPAN></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(19)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>
<DD>由于vg=ds<SUB>g</SUB>/dt，据此可求得式(18)。
<DD>将上述相对运动模型应用于砂轮廓面，得到砂轮廓面族的包络曲面——实得沟槽曲面，再求出实得沟槽与回转面(1)的交线——实得刃口曲线；然后根据虚拟计算结果进行相应的后处理。后续部分的主干模型与《The generalgeometrical models of the design and 2-axis NC machining of ahelical end-mill with constant pitch》相同，所得结果亦相近，本文不再逐一罗列。
<H1><FONT size=2>5 应用实例</FONT></H1>
<DD>以图1所示带凸圆弧的球头铣刀为例，凸圆弧回转面上对应于式(1)有
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR>
<TD style="FONT-SIZE: 20pt" rowSpan=2><FONT size=2>{</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>f<SUB>1</SUB>=<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN>-R<SUB>1</SUB>+R<SUB>1</SUB>cosu<SUB>1</SUB></FONT></TD></TR>
<TR>
<TD><FONT size=2>g<SUB>1</SUB>=R<SUB>1</SUB>sinu<SUB>1</SUB></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(20)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>式中，R<SUB>1</SUB>为凸圆弧半径，将其代入式(16)有
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>dv<SUB>1</SUB>=</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>cot<FONT face=symbol>y</FONT><SUB>0</SUB>R<SUB>1</SUB>cosu<SUB>1</SUB></FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>du<SUB>1</SUB></FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR align=middle>
<TD><FONT size=2><SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN>-R<SUB>1</SUB>+R<SUB>1</SUB>cosu<SUB>1</SUB></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(21)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>
<DD>对于给定的初始条件u<SUB>1</SUB>=0，v<SUB>1</SUB>=0，对上式积分，有
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=5><FONT size=2>v<SUB>1</SUB>=cot<FONT face=symbol>f</FONT><SUB>0</SUB></FONT></TD>
<TD style="FONT-SIZE: 40px" rowSpan=5><FONT size=2>(</FONT></TD>
<TD rowSpan=5><FONT size=2>u<SUB>1</SUB>-</FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>arctan</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>(2<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN>-R<SUB>1</SUB>-<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN><SUP>2</SUP>)<SUP>&frac12;</SUP>tan u<SUB>1</SUB>/2</FONT></TD>
<TD style="FONT-SIZE: 40px" rowSpan=5><FONT size=2>)</FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR>
<TD align=middle><SPAN style="TEXT-DECORATION: overline"><FONT size=2>R</FONT></SPAN></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD colSpan=2><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR>
<TD align=middle colSpan=2><FONT size=2>(2<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN>R<SUB>1</SUB>-<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN><SUP>2</SUP>)<SUP>&frac12;</SUP></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(22)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>
<DD>在凸圆弧回转面与球头球面的连接处，当u<SUB>1</SUB>=u<SUB>2</SUB>=<FONT face=symbol>a</FONT>时，对应的v<SUB>2</SUB>=v<SUB>1</SUB>|<SUB>u<SUB>1</SUB>=<FONT face=symbol>a</FONT></SUB>，因此可根据球面对应的计算公式
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR>
<TD style="FONT-SIZE: 20pt" rowSpan=2><FONT size=2>{</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>f<SUB>2</SUB>=Rcosu<SUB>2</SUB></FONT></TD></TR>
<TR>
<TD><FONT size=2>g<SUB>2</SUB>=(R<SUB>1</SUB>-R)sin<FONT face=symbol>a</FONT>+Rsinu<SUB>2</SUB></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(23)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>求出
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle><FONT size=2>dv<SUB>2</SUB>=cot<FONT face=symbol>f</FONT><SUB>0</SUB>du<SUB>2</SUB></FONT></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(24)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>
<DD>根据前述积分连续条件对上式积分，有
<TABLE width=580>
<TBODY>
<TR>
<TD align=middle>
<TABLE>
<TBODY>
<TR align=middle>
<TD rowSpan=5><FONT size=2>v<SUB>2</SUB>=u<SUB>2</SUB>cot<FONT face=symbol>f</FONT><SUB>0</SUB>+cot<FONT face=symbol>f</FONT><SUB>0</SUB></FONT></TD>
<TD style="FONT-SIZE: 40px" rowSpan=5><FONT size=2>(</FONT></TD>
<TD rowSpan=5><FONT size=2><FONT face=symbol>a</FONT>-</FONT></TD>
<TD rowSpan=3><FONT size=2>arctan</FONT></TD>
<TD><FONT size=2>(2<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN>-R<SUB>1</SUB>-<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN><SUP>2</SUP>)<SUP>&frac12;</SUP>tan<FONT face=symbol>a</FONT>/2</FONT></TD>
<TD style="FONT-SIZE: 40px" rowSpan=5><FONT size=2>)</FONT></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR>
<TD align=middle><SPAN style="TEXT-DECORATION: overline"><FONT size=2>R</FONT></SPAN></TD></TR>
<TR bgColor=#006600 height=1>
<TD colSpan=2><FONT size=2></FONT></TD></TR>
<TR>
<TD align=middle colSpan=2><FONT size=2>(2<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN>R<SUB>1</SUB>-<SPAN style="TEXT-DECORATION: overline">R</SPAN><SUP>2</SUP>)<SUP>&frac12;</SUP></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></TD>
<TD width=10><FONT size=2>(25)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>
<DD>式(23)～(25)中，R 为球面半径。将式(21)、(24)分别代入式(17)、(18)，即可得到对应的轴向和径向进给速度计算公式。
<H1><FONT size=2>6 结语</FONT></H1>
<DD>限于篇幅，本文仅介绍了关键性的主干模型，而与各参考文献相同和相近部分均从略。
<DD>与三种传统刃口设计模型相比，笔者为解决回转刀具二轴联动加工难题而提出的新型刃口设计方法具有明显优势和工程价值，为二轴联动数控加工特种回转铣刀提供了更简便实用的理论前提。此外，回转铣刀的批量加工还可采用非数控加工方案(如利用端面凸轮和靠模)予以实现。因此，对这一课题进行深入的理论研究具有重要的工程应用价值。 </DD>
               

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