圆弧圆柱蜗杆的齿廓测量与参数反求
1．引 言按GB10086-88规定，圆弧圆柱蜗杆（ZC）有三种形式：圆环面包络圆柱蜗杆（ZC1）、圆环面圆柱蜗杆（ZC2）和轴向圆弧齿圆柱蜗杆（ZC3）。本文主要介绍ZC1蜗杆的测量及相关问题，ZC2和ZC3蜗杆的测量与ZC1蜗杆类同。
ZC1蜗杆是一种磨削型曲纹面蜗杆，其齿面形状取决于加工砂轮的几何参数与安装位置。在砂轮的轴平面内，产形线是圆环面母圆的一段凸圆弧；磨削时，砂轮轴线相对于蜗杆轴线偏转一个蜗杆导程角γ，砂轮的轴截面齿形角与蜗杆的法面齿形角相等，如图1所示。其安装参数为
式中 ρ——砂轮轴截面齿廓圆弧半径
r——蜗杆分度圆半径
an——蜗杆分度圆的法向齿形角
a——砂轮齿廓圆弧中心到蜗杆轴线与砂轮轴线的公垂线的距离
b——砂轮齿廓圆弧中心到蜗杆轴线的距离
d——砂轮齿廓圆弧中心到砂轮轴线的距离
A——砂轮轴线与蜗杆轴线间的距离
图1 砂轮安装位置
2．ZC1蜗杆齿面方程
如图2所示，设蜗杆坐标系数为σ（o－xyz），砂轮坐标系数为σ1（o－x1y1z1）。两坐标系的z与z1交错，交错角为蜗杆导程角γ，最短距离为A，且x轴在z与z1的公垂线上。由文献［1］可知，在已知砂轮参数的条件下，ZC1蜗杆齿面方程为
式中 φ，θ——砂轮表面的参数
ψ——磨削时蜗杆的转角
p——蜗杆螺旋参数，
n——蜗杆头数
（2）式中ρ，A，γ，a，d的意义与（1）式相同。
图2 坐标系的设置
3．ZC1蜗杆轴向齿廓方程
对于蜗杆轴向齿廓，y＝0成立，故由（2）式中的第二式得
式中 υ＝（ρcosθ－α）sinγ－（ρsinθ＋d）cosγsinφ
ω＝（ρsinθ＋d）cosφ－A
将（4）、（3）两式联立，即可求出轴向齿廓方程，它是一个非线性超越方程。实际测量中，通常给出一系列xi（i＝1，2，…，n），利用计算机即可方便地求解出相应的zi值。
4．蜗杆齿廓的测量原理
图3所示为蜗杆的齿廓测量原理图。具有平行簧片机构的线性测头安装在一个能同时在X方向（蜗杆径向）与Z方向（蜗杆轴向）运动的测量滑板上。计算机控制滑板在X方向和Z方向运动时，测头能沿蜗杆齿廓进行扫描测量。其中滑板的Z向运动是大行程的“粗”运动，具有微位移功能的测头传感器用于补偿滑板的运动误差，并同时感受齿形误差。在扫描测量过程中，X方向的位移传感器等间距地发出采样信号，对测头传感器和Z向位移传感器进行采样。对于实际齿廓上的任一被测点，每一个xi均有与之相对应的Z向位移传感器读数li和测头读数δi。该点的实际轴向坐标zai为
zai＝li＋δi （5）
假设在一个齿廓上测量n点，则实际齿廓可表征为这些点的集合Σa
Σa：｛（xi，zai）｜i＝1，2，…，n｝ （6）
图3 测量原理示意图
对应xi，根据（3）式可求出蜗杆齿廓上相应的Z向理论坐标值，在此记为zi，则理论齿廓可表征为集合Σ
Σ：｛（xi，zi）｜i＝1，2，…，n｝ （7）
由（6）、（7）式可求出蜗杆在轴向的齿形误差集合ERR
ERR： ｛err（i）＝zai－zi｜i＝1，2，…，n｝ （8）
如果该蜗杆共测量m个轴向齿廓，每一齿廓上采样n个点，最后得到齿形误差在轴向的计算公式为
5．蜗杆参数反求
在生产实践中，常常遇到与蜗杆相关的另一类问题：在拥有蜗杆实物的情况下，如何获得该蜗杆的几何参数以及加工安装参数。这是一个反求工程问题。ZC蜗杆的参数反求较之普通直纹面蜗杆的参数反求，其复杂之处在于如何确定ZC蜗杆的齿廓参数。除齿廓参数外，ZC蜗杆的其它参数均能采用常规量具或通用量仪测得。本文着重探讨ZC1蜗杆齿廓参数的确定方法。
ZC1蜗杆的齿廓参数反求可分解成两个问题：（1）如何获取齿廓的基本信息，即齿廓测量问题；（2）在获得齿廓信息后，如何获取齿廓参数，即齿廓信息分析问题。
利用上节介绍的测量原理，在未知齿廓参数的条件下，实现齿廓测量的关键在于如何控制测头的运动轨迹。常用的控制策略有两种：跟踪测量法与分段逼近法。
跟踪测量法是指在测量过程中，根据测头的读数变化，计算机实时控制测量滑板在Z向的运动速度，使测头读数在设定值附近变化而不超过测头传感器的量程，实现测头跟随齿廓形状运动。这种方法的缺点是测量速度较慢。
分段逼近法是指将齿廓分成几段，每段用直线去逼近，测头在每段作相应的直线运动，以便测头实现扫描测量。在测头量程较大的情况下，将齿廓分为两段即可满足要求。如图4所示，用卡尺或通用量仪测量出图示尺寸，求出比例系数Ci作为控制滑板运动的依据。其中Ci为
分段逼近法的优点是齿廓测量速度较快。
图4 齿廓分段
获得蜗杆实际齿廓的坐标集合Σa后，求解齿廓参数的问题实际变成了一个多变量优化问题。目标函数F为
其中F是ρ，A，γ，αn的函数。满足一定约束条件，结合蜗杆副的实际要求，对（11）式进行优化处理，即F→min，便能求出齿廓参数与加工安装参数。
6．测量实例
在HCM320柱坐标测量机上应用上述原理和方法测量ZC1蜗杆的齿廓。被测蜗杆的法截面如图5所示，其参数为：m＝5．2mm，αn＝23°，γ＝10°47′03″，Z＝2。应用Monte Carlo法对（3）式求解，即可方便地得到该蜗杆的理论齿廓。图6所示为求出的右齿面的轴向齿廓（比例1∶10）；图7所示为实测结果，其中在X方向的采样间距为0.05mm。为了以更大比例（1∶100）绘出理论齿廓和实测齿廓，以便能看出两者间的差别，图7a是对理论齿廓和实际齿廓进行坐标变换后的结果；如图7b是齿形误差曲线（1∶500）与测量结果。如对该蜗杆的同一齿廓测量5次，其重复性为0.8μm。测量齿廓时，起测点与蜗杆轴线间实际距离的确定是保证测量精度的关键因素，为此，测量时应校准仪器的零位。
图5 蜗杆法截面
图6 轴向理论齿廓
图7 齿廓曲线与齿形误差
7．结束语
本文所述测量ZC1蜗杆齿廓的方法具有速度快、精度高等特点。本方法也适用于ZK蜗杆等其它曲纹面蜗杆的齿廓测量，只是理论齿廓不同。
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