混联式机床的并联机构刚度解析
1 前言并联机构具有刚度大、承载能力强、位置精度高、响应快等许多串联机构所没有的优点其应用前景十分广阔。近几年来引起了机床领域研究学者及产业界的广泛重视。然而这类机构的运动学和动力学求解问题比较复杂．是机构学研究的难点之一。另外，在对并联机构机械结构系统的动力学分析中，一般都是将系统结构作为刚性体进行处理，这样只能进行力的分析，无法分析力作用下的位移。本文介绍一种新的并联机构的刚度解析方法即将系统结构作为柔性体处理可直接求解系统的刚度，具有独特优点。下面以3-RPS并联机构为例进行说明。我们把这种机构作为独立的并联机构用于混联式数控机床。
在3-RPS机构的设计过程中，赘个机构的刚度取决于组成机构的各构件要素(杆件和关节)的刚度，如何合理设计各杆件的结构参数使机构在各种位姿及外力作用下刚度均衡是设计的关键。
图1 3自由度并联机构模型
2 机构组成
3-RPS 并联机构部件由动平台、定平台及连接两平台的二个分支组成，如图1 所示，其中三个分支与定平台相连的运动副为转动副(R) ，与动平台相连的运动副为球面副(S) , R和S两个运动副之间为移动副(P)。由机构的运动学分析可知．该机构具有沿Z轴的移动和绕X轴与Y轴的转动(等效的瞬时转轴)三个自由度当机构的移动副作长度变化时，运动平台的位姿随之变化。
3 关节的边界元法合成
边界元法是把对象的控制微分方程式变换成边界上的积分方程式，然后把该积分方程式离散，进行求解。由于边界元法只对对象的边界进行处理，因此，可以把考虑问题的维数降低一维。对于杆类零件，由于领域为一维领域，故其边界就是点，与有限元法相比边界单元的数目和节点的数目少，数据输入的准备工作简单，需要的计算机容量小，计算速度快。
图2 子结沟坐标示意图
并联机器人机构是杆系机构各杆件通过各种关节相连接，可作为杆类机械结构系统进行性能分析。单个杆是该系统的一个子结构，利用边界元法可得到每个子结构的边界方程式，然后找出相联接的子结构间的边界关系，即结合条件式。最后利用结合条件式对各子结构的边界方程式联立求解，得出整个系统的边界力和位移，继而求得系统的静刚度。
如图2所示的两个子结构合成求解的过程如下。
子结构的方程式
{
Fa
}
=
{
Xa
}
+{P1}
Fb
Xb
{
Fc
}
=
{
Xc
}
+{P2}
Fd
Xd
式中：K1、K2分别为子结构1和2的刚性系数矩阵(包括拉压、弯曲及扭转)，取决于各子结构的长度、截面特牲等结构参数及材料特性参数；P1、P2分别为作用于子结构上的外力的力矢量；Fa、Fb、Fc、Fd和Xa、Xb、Xc、Xd分别为两个子结构在边界点处的力矢最和位移矢量它们分别包括六个坐标方向的力、力矩或位移、转角。例如Fa={Fa1 Fa2 Fa3 Fa4 Fa5 Fa6}T
结合条件式
当两个子结构刚性联接时，联接点处的力大小相等，方向相反，而且位移相等，故结合条件式为：
位移结合条件：
{Xa Xb Xc Xd}T=0
(3)
力结合条件：
{Fa Fb Fc Fd}T=0
(4)
式中：I表示单位矩阵；C表示坐标转换矩阵。当子结构相互之间采用关节联接时，绕其关节轴的自由度不受约束即绕关节轴的力矩为零，位移为刚体运动导致子结构边界方程在联立求解时无解，因此不能在结合条件式中包含相应的力矩和位移。由于绕关节轴的力矩为已知量，故子结构方程式中的该元素可作为边界条件。如图2所示，两子结构在联接处绕X1轴转动的结合条件式如下：
{Xa Xb Xc Xd}T=0
(5)
{Fa Fb Fc Fd}T=0
(6)
{
Fa
}
=
{
Xa
}
+{P}
Fd
Xd
式中：Xa、Fa为包含关节方向分量的杆1的边界方程，为合成后整个机械结构系统的刚性系数矩阵。
将所有已知的边界条件代人式(7)中求解，即可解出系统中未知的边界条件，从而获得系统的刚度。
图3 3自由度并联机构力学模型
4 3-RPS并联机构刚度的边界元法解析
图3所示为3-RPS并联机构刚度分析的边界元模型，O-XYZ为建立在定平台上的总体坐标系，oi-xiyizi为建立在各子结构上的局部坐标系。F为作用在动平台上的外力系(可为任意方向的力或力矩)。
由各分支机构中各杆件的长度、截面特性等结构参数获得子结构方程式(1)中的刚性系数矩阵；由各杆件局部坐标系相对于总体坐标系的姿势获得坐标转换矩阵C；将已知的边界条件值代气式(7)求解出未知边界条件。至此，获得了在外力系F的作用下整个机械结构系统的变形、即系统的静刚度。
要优化系统结构提高系统的刚度，就必须合理设计系统中各子结构的结构参数，使系统的整体刚度最大。将整个机械结构系统的边界条件通过坐标变换转换为单个杆件的边界条件，再次利用上面的解析过程，得出组成并联机构所有杆件的受力状态与力作用下的变形，为结构设计提供了依据。
如图3所示，3-RPS并联机构动平台位姿矩阵为T，在Om点处作用力分别为Fx=1000N、Fy=1000N时计算各杆的受力状况及系统刚度，如下表所示。
各分支的受力及系统刚度计算结果表
作用力(N) (相对于O-XYZ)
各分支承受的负载(相对于各分支的局部坐标系oi-xiyizi)(N)
系统刚度(N/µm)
A-a分支
B-b分支
C-c分支
Fx=1000
Fz=-1515.5
Fz=757.76
Fz=757.76
112.8
Fy=1000
Fz=370.5
Fz=370.5
Fz=370.5
942.4
注：由于在不考虑摩擦和杆件重力时，所求解出的各分支在其它方向的力为零，故只给出Fz
其中，位姿矩阵T=
[
R
P
]
O
1
R=
[
1
0
0
]
为动平台坐标系统在定平台坐标系统的方向余弦矩阵，即姿势；
0
1
0
0
0
1
P={Px Py Pz}T为动平台坐标原点在定平台坐标系的位置。
5 结束语
本文将混联机床中的3-RPS并联机构作为杆类机械结构系统，将组成机构的各杆件作为柔性休，利用边界法建立了该系统的静力学模型。并在给定的位姿与作用力下，求解了系统的变形与刚度，计算结果表明，该机构受力合理。将本文所述方法与机构的运动学正逆解结合，可求解动平台在任意位姿下的系统刚度．并能仿真分析系统在运动过程中的力的变化。
文章关键词： 机床
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