数控修整成型砂轮的近似双圆弧插补法
<H1><FONT size=2>1 引言</FONT></H1><DD>在制罐业中，封罐工具——封口轮的制造质量不仅决定它自身的使用寿命，而且影响封口后罐口边缘的密封性，进而影响食品保鲜能力。因此，封口轮卷封沟槽的设计与加工十分重要。对于这种曲线回转面沟槽，既要求形状精确，以减小变形阻力，同时要求表面光滑，以降低摩擦阻力。采用成型磨削加工这种成型沟槽是一种有效的工艺方法，但需解决成型砂轮的修整问题。采用具有三轴联动功能(两个移动轴和一个转动轴)的数控砂轮修整器修整成型砂轮，可使修整工具始终对准砂轮轮廓曲线的法向，保证成型砂轮的形状精度。但是，现有的数控自动编程软件一般不具有处理两移动轴加一转动轴的三轴联动数控程序的功能，因此需要研究曲线数据处理方法，设计专用的后处理数控程序。 <DD>进行数控编程时，首先需解决成型砂轮轮廓曲线的光顺处理问题。曲线回转面沟槽的形状常以列表曲线来表述，列表曲线的光滑处理方法常采用圆弧法和双圆弧法等。此类方法采用一组相切的圆弧来描述曲线，并使曲线达到总体一阶光滑。采用圆弧法和双圆弧法进行光滑处理时，划分和求取相切圆弧需应用一系列计算复杂的数学拟合方程，实际应用时难以满足曲线形状多变的要求。为此，本文提出一种计算简洁、可靠性高、能满足实际加工需要的近似双圆弧插补法。利用该方法可完成计算机辅助编程程序的设计，在输入列表曲线各数据点坐标后，可自动输出磨削加工用的数控代码程序。 <H1><FONT size=2>2 近似双圆弧插补法</FONT></H1><OL><B><LI>基本原理</B><DD>如图1 所示，取出列表曲线的前四个数据点(1、2、3、4)，取其中相邻三点(1、2、3 和2、3、4)分别作圆弧<IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_6kez7k20071123152751.gif">(圆心为O<SUB>1</SUB>)和圆弧<IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_zmftsy20071123152843.gif">(圆心为O<SUB>2</SUB>)，求出点2处两圆弧法向(分别通过O<SUB>1</SUB>和O<SUB>2</SUB>)之间的转角A，根据A值是否大于允许值决定是否插补，若转角A过大，则进行插补，增加数据点。运算步骤如下： <OL><LI>如上述作出圆弧<IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_6kez7k20071123152751.gif">和<IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_zmftsy20071123152843.gif">，并求出转角A。 <LI>若A≤<FONT face=symbol>Dq</FONT>允许，则1、2 两点之间的曲线(圆心为O<SUB>1</SUB>的圆弧)已满足光滑要求，可按该曲线输出1、2 两点之间的数控加工代码；然后以点2 为第一点重新取四个数据点(即2、3、4、5)，重新开始步骤(1)。若A ><FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>，则进入步骤(3)。 <LI>求出<IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_6kez7k20071123152751.gif">和<IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_zmftsy20071123152843.gif">两圆弧截2、3 两点垂直平分线所得的线段中点3'，作为新增数值点。<BR> <TABLE align=right><TBODY><TR><TD align=middle><FONT size=2><IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_uzlil820071123152244.gif"><BR><B>图1</B></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE><LI>作<IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_o3pyqj2007112315296.gif">和<IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_wxvsoe20071123152921.gif">两段圆弧，求出点2 处两圆弧法向(分别通过圆弧<IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_o3pyqj2007112315296.gif"> 的圆心O<SUB>3</SUB>和圆弧<IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_wxvsoe20071123152921.gif">的圆心O<SUB>4</SUB>)之间的转角a，则必有a<A(见图1)。 <LI>若a≤<FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>，则1、2 两点之间的曲线(圆心为O<SUB>3</SUB>的圆弧)已满足光滑要求，可按该曲线输出1、2两点之间的数控加工代码；然后取2、3'、3、4 四个数据点重新开始步骤(1)。若a><FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>，则以1、2、3'、3 四点重新开始步骤(3)。 <DD><FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>为修整工具在实际加工中允许的偏转角度，<FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>取值越小，成型砂轮的形状精度越高。</DD></LI></OL><B></DD><LI>分类讨论</B><DD>在实际处理过程中，分别对点1、2、3 和点2、3、4求圆弧方程或直线方程(当圆弧半径大于某设定值时，可将其看作直线)，在空间上可能构成三种类型的曲线关系。对不同类型曲线进行光顺处理时，其插补及转角处理方法也不尽相同，现分述如下： <OL> <LI><B>类型1：</B>第1、2、3 点和第2、3、4 点分别构成直线。此时四点共线，即A=0，满足A≤<FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>的光滑条件，不需进行插补运算，可输出相应的1、2 点之间的数控加工代码，然后进行下一步骤运算。 <LI><B>类型2：</B>一直线与一圆弧相交，如图2所示。此时，直线与圆弧相交点的坐标为(x<SUB>2</SUB>，y<SUB>2</SUB>)和(x<SUB>3</SUB>，y<SUB>3</SUB>)，圆心坐标为(x<SUB>0</SUB>，y<SUB>0</SUB>)，半径为R，过圆心作圆弧平分线交圆弧于点(x'<SUB>2</SUB>，y'<SUB>2</SUB>)并垂直平分弦于点(x<SUB>23</SUB>，y<SUB>23</SUB>)，各点坐标均可求，因此有 <TABLE width=523><TBODY><TR><TD align=middle><TABLE><TBODY><TR align=middle><TD rowSpan=3>|cosA|=|cosA'|=</TD><TD>[(x<SUB>0</SUB>-x<SUB>23</SUB>)<SUP>2</SUP>+(y<SUB>0</SUB>-y<SUB>23</SUB>)<SUP>2</SUP>]<SUP>½</SUP></TD></TR><TR bgColor=#006600 height=1><TD> </TD></TR><TR align=middle><TD>R</TD></TR></TBODY></TABLE></TD><TD width=14><FONT size=2>(1)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE><BR> <TABLE align=right><TBODY><TR><TD align=middle><FONT size=2><IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_0vxcao20071123152254.gif"><BR><B>图2</B></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE><DD>若|cosA|≥cos<FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>，即|A|≤<FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>，已满足光滑条件，不须进行插补点的运算，可在输出1、2 点之间的数控加工代码后进行下一步骤的运算。 <DD>若|cosA|<cos<FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>，即|A| ><FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>，不满足光滑条件，必须进行插补运算，插入点坐标为[(x<SUB>23</SUB> + x'<SUB>2</SUB>)/2，(y<SUB>23</SUB> + y'<SUB>2</SUB>)/2]。 </DD><LI><B>类型3：</B>两圆弧相交，如图3 所示。在两圆弧同向相交(见图3a)和两圆弧逆向相交(见图3b)两种情况下，圆弧相交点的坐标均为(x<SUB>2</SUB>，y<SUB>2</SUB>)和(x<SUB>3</SUB>，y<SUB>3</SUB>)，圆心坐标均分别为(x<SUB>01</SUB>，y<SUB>01</SUB>)和(x<SUB>02</SUB>，y<SUB>02</SUB>)，对应半径均分别为R<SUB>1</SUB>和R<SUB>2</SUB>，过圆心作圆弧平分线交圆弧于点(x'<SUB>2</SUB>，y'<SUB>2</SUB>)和(x'<SUB>3</SUB>，y'<SUB>3</SUB>)并垂直平分弦于点(x<SUB>23</SUB>，y<SUB>23</SUB>)，各点坐标均可求，根据余弦定理均可得 <TABLE width=511><TBODY><TR><TD align=middle><TABLE><TBODY><TR align=middle><TD rowSpan=3>|cosA|=</TD><TD height=36>|(x<SUB>2</SUB>-x<SUB>01</SUB>)(x<SUB>2</SUB>-x<SUB>02</SUB>)+(y<SUB>2</SUB>-y<SUB>01</SUB>)(y<SUB>2</SUB>-y<SUB>02</SUB>)|</TD></TR><TR bgColor=#006600 height=0><TD> </TD></TR><TR align=middle><TD>R<SUB>1</SUB> R<SUB>2</SUB></TD></TR></TBODY></TABLE></TD><TD align=middle width=18><FONT size=2>(2)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></LI></OL></DD></LI></OL><P> </P><TABLE width=550 align=center><TBODY><TR align=middle><TD width=275><FONT size=2><IMG style="WIDTH: 298px; HEIGHT: 192px" height=193 src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_szobmv2007112315235.gif" width=296><BR>(a)</FONT></TD><TD width=275><FONT size=2><IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_uhdovi20071123153338.gif"><BR>(b)</FONT></TD></TR><TR><TD align=middle colSpan=2><B><FONT size=2>图3</FONT></B></TD></TR></TBODY></TABLE> <P></P><OL><DD>若|cosA|≥cos<FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>，即|A|≤<FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>，满足光滑条件，不需进行插补运算，可在输出相应的1、2 点之间的数控加工代码后进行下一步骤的运算。 <DD>若|cosA| < cos<FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>，即|A|><FONT face=symbol>Dq</FONT><SUB>允许</SUB>，不满足光滑条件，必须进行插补运算，插入点坐标为[(x'<SUB>2</SUB> + x'<SUB>3</SUB>)/2，(y'<SUB>2</SUB> + y'<SUB>3</SUB>)/2]。<BR> <TABLE align=right><TBODY><TR align=middle><TD><FONT size=2><IMG src="http://www.chmcw.com/upload_files/article/20/1_iglevh20071123153346.gif"><BR><B>图4</B></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE><DD>近似双圆弧插补法的程序框图如图4所示。</DD></OL><H1><FONT size=2>3 结语</FONT></H1><DD>由于近似双圆弧插补法根据圆弧转角来进行曲线光顺处理，模拟了实际砂轮修整过程中砂轮修整器转动时平稳光滑的过渡过程，因此可保证砂轮修整过程的平稳进行，并可获得良好的砂轮磨粒切削刃，可较好满足实际生产要求。 </DD> 数控修整成型砂轮，不懂呀
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