铣刀周齿螺旋前刀面的刃磨

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引言
生产中在刃磨一批铣刀周齿螺旋前刀面时，必须对首件进行多次试磨，直到磨出符合要求的端面前角γ0后才能对其余的铣刀进行刃磨，而首件的试磨是十分麻烦和耗时的。作者在研究球头立铣刀时已用在计算机上的试磨代替现场试磨。最近作者另用无瞬心包络法通过计算直接确定砂轮的安装参数，从而避免了生产中对首件进行多次试磨的麻烦。

图1 螺旋槽的端面截形
图2 端面截形转动η角
( C8 p, S- W& Z' X1 e. p2 n* j# A7 `1 砂轮与铣刀(工件)上的坐标系
1.1 铣刀螺旋槽端面截形的转动角η
铣刀周齿螺旋槽是由几个线段同时作螺旋运动后形成的一个并连的复合螺旋面。其典型的螺旋槽端面截形如图1所示。从图1可知螺旋槽的端面截形是由四条线段组成的：直线AB、下凹圆弧BC、上凸圆弧DC及直线DE。
4 O; |7 A: J' i' v. U% Q刃磨周齿螺旋前刀面就是刃磨直线AB段并使它获得规定的前角γA.在刃磨周齿螺旋前刀面AB之前，首先应将前刀面AB转至敞开的位置上以便于磨削。转动角η可按下式计算：
tgη=tgγB=tg(γA+α)
- w5 u# O% n5 o7 q" [: f( i2 ~(1)
tgα=yoB/xoB
) ]3 Q" y& j* ^7 }+ z" u# g& v$ N(2)
6 U" t( N6 ^9 o* P5 z) \: M9 ex0B、y0B为B点的坐标。
6 B- N1 \4 m" X, O& _; n5 ~% d3 I
; K& ^9 S0 K* N5 R9 m+ v图3 砂轮与铣刀上的坐标系
, ?" l+ o3 u: e$ \2 J
& {9 T; h% f6 m; q图4 螺旋运动
4 e2 `) v3 E9 F! H转动η角后的端面截形如图2所示。已知转动角η后便不难算出砂轮相对于铣刀轴线的偏置量e、ey及ez(见图3).
1.2 砂轮与铣刀上的坐标系
$ P% L+ Q+ O* p3 x5 }, S5 Z* ~4 n当初步选定碟形砂轮直径Rs后，磨削螺旋前刀面时，砂轮在铣刀上的安装如图3所示。在铣刀上取坐标系o-xyz，在砂轮上取坐标系O-XYZ.砂轮坐标系的原点O在铣刀坐标系中的坐标为(A,ey，ez)，其中A为砂轮与铣刀的中心距。
4 K% A4 ?2 M! S5 S, UA=Rs+R-h
5 l( Z$ {& w5 I2 J. f(3)
式中：h——周齿螺旋槽的槽深；
φ为安装角
φ=ω+(1°～2°)
- A5 I' q1 G; _& v" V3 X(4)
2 直线AB作螺旋运动后形成的螺旋面方程式
2.1 直线AB的方程式

式中：B=cosη+tgγA·sinη
(5-a)
C=b·sinη
4 K! ?7 g$ A$ y- b( k(5-b)
C=b·sinη
! K' W% t% `8 d2 s(5-b)
D=sinη-tgγA·cosη
1 i/ f& h8 ?  K, I(5-c)
E=b·cosη
, j+ C1 Q. v) X! O9 y4 H$ S5 Y: T(5-d)
b——直线AB在y0轴上的截距(铣刀截形转动前)
2.2 直线AB作螺旋运动后的螺旋面方程式
0 Q/ |) H" P/ R6 b4 H; H4 u令与铣刀固连的坐标系O-XYZ，相对于铣刀轴线作螺旋运动，则直线AB将在空间形成一个螺旋面，其方程式如下：

5 h6 V- t( ~" v0 W4 {& p7 B* B, u! r式中：θ——螺旋运动参数(详见图4)；
5 P9 ~! h2 F9 I& D+ D0 J; s( p3 wp——螺旋运动参数，p=H2π，H为铣刀螺旋槽的导程。
3 螺旋前刀面的法矢量
螺旋前刀面方程式(6)可写成矢量式即
1 F1 i( C5 \# x" n$ }4 ?
故

设螺旋前刀面的法矢量为1，则有

式中

故有在x1、y1、z1轴上的分量为：
1 |* X+ a6 _2 I3 ]: @( |5 y/ X$ ~
4 接触条件式
根据啮合理论，无瞬心包络法的接触条件式为
(A-x1+p·tgφ)Nz1+A·tgφ·Ny1+z1·Nx1=0
/ R( e( f' |4 t将x1(t,θ)、y(t,θ)、z1(t,θ)、Nx1(t,θ)、Ny1(t,θ)及Nz1(t,θ)代入上式化简后得:
(Q+p2·B·θ)sinθ+(D·p2·θ-S)cosθ+W=0
(10)
* c7 I: N8 G- E" j/ v: o式中
Q=(D·t+E)+A·D·p·tgφ；
6 c/ y) `/ ~# I1 x! b1 V9 n' g(10-a)
S=F(B·t-C)+A·B·p·tgφ；
(10-b)
W=F(A+p·tgφ)
# ?8 V8 j1 T- H! S: F2 M(10-c)
F=〔B(B·t-C)+D(D·t+E)〕
! x& y8 Q3 E( V- J/ W! M(10-d)
接触条件式是以t，θ为变量的一个超越方程式，因此可以将(10)式简写为
f(t，θ)=0
(11)
. G) b* G$ d2 N5 {% o" N) `接触条件式实质上是螺旋前刀面上的一个法线直纹面的方程式。
% I! W9 D1 r+ O% i2 }5 p. X: X) }5 空间接触线
将法线直纹面方程式与螺旋前刀面联立解，便得空间接触线

* j8 N5 r3 }  g空间接触线是上述两个曲面的交线，它位于螺旋前刀面的表面上。由于螺旋前刀面母线AB的长度一般都不长，因此其接触线也不长而且近似于一条直线。

. R0 D% Y  R# K) `图5 在砂轮坐标系中的接触线
6 碟形砂轮的最小半径Rsmin
5 ]. }8 b& O2 G3 o; a3 w将按(12)计算得的接触线各点的坐标，代入下式，便可将接触线转换到砂轮坐标系中。

式中， 及 ——在铣刀坐标系中，接触线上各点的坐标。
图5为在砂轮坐标系中接触线的空间位置。从图中可知，接触线近似于一条空间直线，因此我们可以用接触线两个端点(p1,pn)的连线的方位角λ近似代替接触线在pn点的方位角。
( q2 K3 H+ Z" u. P4 L, s# @设接触线两端点的坐标分别为p1(X1,Y1,Z1)及pn(Xn,Yn,Zn)，则接触线的方位角λ为

接触线在YZ平面上的投影与Z轴的夹角μ为
tgμ=(Yn-Y1)/(Z­n-Z1)
0 c' @9 `. ^' u4 g. [(15)
* B  f- ~) D# K) k% n接触线在XZ平面上的投影线与Z轴间的夹角ε为
/ x+ J/ s5 r  g$ j, A! A! jtgε=|Xn-X1|/(Zn-Z1)
% P( t+ a: j) y(16)
8 o. Z& h7 H  c由于接触线是一条空间曲线，因此铣刀螺旋前刀面应在数控工具磨床上磨削才能获得精确的前角值。
8 K7 [5 R: ?- e, r3 W如果在普通工具磨床上磨削铣刀螺旋前刀面时，则应将空间接触线投影到XZ平面上，然后用圆上的一段圆弧近似代替接触线的投影线。为了保证此圆必须与接触线的最低一点能够啮合，此圆的最小半径亦即砂轮的最小半径应满足下式：
Rsmin=|Xn|
8 K' Z2 C- M  G(17)
% g; C0 K% V# P" m2 f) D/ D式中
Rsmin——碟形砂轮的最小半径；
Xn——接触线上最低点pn的Xn坐标。
4 r7 a" B7 x3 E1 K! Q2 |7 用反包络法求磨削加工出来的铣刀螺旋前刀面的截形
2 R1 b5 H  Z" u5 l7.1 在铣刀坐标系中近似接触线的方程式
按(17)式决定的碟形砂轮圆周上的某一段圆弧就是近似接触线，现将此近似接触线转换到铣刀坐标系中，参考图3可得：

$ |2 k4 q6 O6 M" f( ^  a式中
Rs——按(17)式决定的砂轮半径或其修正值，Rs≥Rsmin；
& e) r9 [7 {5 h) r$ J- ]( n. aV——砂轮的转动角；
Ye——砂轮在Y轴上的实际安装位置。
9 T8 o* o7 n2 N% O/ D7.2 求铣刀螺旋前刀面的截形
3 N) E3 N' _, S: O$ v" x令近似接触线方程(18)沿铣刀轴线作螺旋运动，便可得螺旋前刀面的近似表面方程式
3 {) l* L; q3 O
令zb=0，即
& t# Q) E9 i7 ?& o: Xθ=-z1/p
(20)
将近似接触线上各点的z1值代入(20)式，便得一系列的{θ}值，再将{θ}，{x1}，{y1}值代入(19)式，便可求得螺旋前刀面的近似截形。

8 N1 c3 h! K9 c5 E- ~/ k8 砂轮的安装参数
通过上述计算便可求出在刃磨铣刀周齿螺旋前刀面时，砂轮的直径及其安装参数为：
Rs≥|Xn|

式中：e——初定的砂轮偏置量；
; t2 E) A) S4 fe实——砂轮的实值偏置量。
9 实例(铣刀端截形见图1)
5 v2 z- q* u/ r" C1 K9.1 铣刀螺旋槽的参数及辅助计算
; D* \& U1 f# z4 i铣刀周齿螺旋前刀面的参数(与计算无关的其它参数未列入)
R=22.5 mm；Rs=50 mm；h=8
mm;AB=3 mm;γA=11°30′；ω=30°.
辅助计算：
, K( k8 C' {; a5 {! p直线AB的截距b=x·tgγA=22.5·tg11°30′=4.5788 mm；
1 U) B; g/ Q/ W9 ]( x+ [$ ]$ k螺旋运动参数p:
∵H=π·D·tg60°=45·π·tg60°=244.8555
∴p=H2π=38.9700;
中心距A：
8 g1 I, C; U4 O; N& R+ @5 TA=R+Rs-h=22.5+50-8=64.5mm.
4 ^1 I+ N0 O1 \1 O, k3 p" x9.2 铣刀螺旋槽端面截形的转动角η
∵xoB=R-3cosγA=19.5603
yoB=3sinγA=0.5982
tgα=yoB/xoB=0.0306
∴α=1°45′
3 ~2 J5 H9 v3 Q& e! Q+ \而tgη=tgγB=tg(α+γA)=(tgα+tgγA)/(1-tgαtgγA)=0.2356，
3 R# b  t* P9 A$ c- c/ a; C& k6 D∴η=13°16′
近似取
∴η=13°
& s" U% Z& C" E% a$ f# F9.3 安装角φ及偏置量e
1 {( T2 X2 w* x1 |# u1 r, Z% `. V安装角φ=30°+2°=32°
3 c* A# e. D0 Q7 _1 i偏置量e=Rsinηcosφ=4.2930 mm；
& H/ ~0 w1 E5 `3 D: }9 W9 s) ?ey=e·cosφ=3.6401 mm
ez=e·sinφ=2.2749 mm.
9.4 直线AB的方程式
3 g% l# b: y# x# k& Q
* _2 A: A  }/ h4 ~) A+ hx=1.0093 t-1.5658
5 ?9 u+ F0 z# St=(22.5∶-0.15∶19.5)
! [: C6 U2 V2 f& \% e" n& N1 d+ x: ky=0.1509 t+4.3017
z=0
9.5 接触条件式
  w$ I5 f& H! Y+ P) _) Y[Q+1549·3000·(θ)]sinθ+[40.5482·(θ)-S]cosθ+W=0
! `+ V- \, U( }' f  u9.6 接触线在砂轮坐标系中的坐标
& t& {) n0 }$ ^3 CX=[
. k7 a- ^% k7 t& w-43.8190
-44.0312
/ \5 F1 {; e4 Q% A9 R-44.2431
3 W: C2 q1 B1 O$ ?/ T4 Q-44.4537
-44.6628
9 }0 o/ r" W% Z-44.8713
-45.0794...
9 H; G* L0 b5 Q) j! f7 V-45.2867
-45.4933
-45.6993
-45.9054
0 z( w3 z3 l' }# [& V7 @-46.1087
-46.3132
5 ]! g: V9 _6 N: [9 P-46.5177...
-46.7194
+ M# g2 k! b& |5 X-46.9232
-47.1249
/ m+ x/ Y& `; c3 j% V# [-47.3267
-47.5265
-47.7252
-47.9270
# F6 e: {# ?) c- H3 @# U$ k]；
Y=[
( z. f$ E* y" }" @0.2063
8 N, ~- t; s2 K' S  G0.1572
( K# M+ w0 z3 j; h7 W5 E- w( v0.1065
0.0549
0.0009
4 R8 D2 s( q3 h1 r3 Q9 z- Z- Z$ X-0.0541
8 ?5 c8 _! s1 ^9 z-0.1107...
-0.1687
-0.2280
-0.2379
) s2 u% H3 J# X) E! Z-0.3514
-0.4143
-0.4795
( U* h+ U% P9 {; k, V% w6 f/ n' i-0.5463...
-0.6132
/ F- y& |! u% h; D8 H, X% ^! m-0.6829
-0.7531
-0.8248
-0.8970
-0.9701
7 r3 f/ V; s  d) M-1.0467
]；
1 y5 L/ S1 T5 p, N) kZ=[
$ p. K. |  k! n. J* a12.8504
- ]9 ]4 L5 a+ h3 J/ V9 V: ^13.1410
. v, q2 }/ ~' @( A# X" Z. K7 c13.4261
9 c$ q0 N- F( R/ ^2 y9 j5 {: }13.7003
( y6 A1 m! i# X13.9662
$ u( _$ a; y5 @, b5 d14.2259
14.4797...
14.7282
1 _7 j, `% a( I/ L14.9712
5 f2 ?) p' V7 D6 @# F1 ]% A15.2404
8 A! c1 v* _& J/ f$ ?0 `% z15.4450
15.6675
' _1 K/ g- b7 P: N( {: |15.8931
16.1177...
5 W* \3 a) {, O0 m16.3285
16.5466
. U% `/ m2 c' n. M16.7553
7 T9 A/ Q) D/ U/ S$ F" k16.9630
7 ]1 Z3 V/ ]+ r( h17.1613
17.3544
17.5592
]；
根据上述数据画出的空间接触线如图6所示。
" a3 V' O' i1 i
3 d# r3 l: R7 X0 U图6 空间接触线
3 H& }7 e3 r# Q; i+ ^( S8 W
: n: E( U  f) y2 A- ]$ X: V; ?6 p  F图7 铣刀周齿螺旋前刀面的截形