6-PSS虚拟轴机床运动分析

冯宁宁

Kinematic Analysis and Modeling of 6-PSS
Virtual-Axis Machine Tool
' r/ k1 N/ V% U' D6 n0 SDING Hong-sheng
1 `" ~0 y. N1 n/ y) L, I/ ~(School of Mechanical Engineering and Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing　100081)
6 p* L" @  x) t0 a7 v# C# Z0 d. CZHANG Tong-zhuang
& s, V5 ]& Q- D0 q8 [' i* B(School of Mechanical Engineering and Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing　100081)
- _" }, a. B) u# b) WYANG Wei-qiang
# @- a5 X0 Z( F! i: z* j4 h# `(School of Mechanical Engineering and Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing　100081)
! l0 d# U  c. }7 ^: A( o. H3 F* eAbstract：A new form of 6-PSS virtual-axis machine tool was established, and its kinematic modeling was proposed. To avoid the constructional interference between the ‘legs’ and to keep 6 freedoms during the processing, a method was adopted that requires the moving platform not to rotate around its own axis, and the lost freedom to give place to the rotation of tools. And on the basis of the modeling, forward and inverse velocities were analyzed. The data-changing curves of the actuators' displacements and velocities were confirmed by a simulation software. A reasonable kinematic model can make the description of the manufacture process simple and intuitive
' y' f5 G+ `% C; v7 @Key words：spatial mechanisms; virtual-axis machine tool; kinematic analysis▲
: p# y/ I1 V; {8 U+ i
图1　6-PSS型机构简图
1　6-PSS虚拟轴机床运动分析
" Q* J- \" [3 ]　　Stewart并联机构的研究随着该机构向机器人、新型数控机床等领域的拓展而日趋深入［1，2］。6-PSS构型是在6-SPS型Stewart并联机构的基础上，通过机构变异而构思出的并联机构形态［3］。与6-SPS型相比，6-PSS型机构因驱动装置全部固定在基座上，大大减轻了可动构件的质量，从而可显著减小惯性，有利于改善装置的动特性；其动连杆直径显著变小，容易避免杆间的结构干涉(SPS型的驱动装置是装在连杆上的，容易产生结构干涉)。
　　图1为6-PSS构型虚拟轴机床简图(机架支撑未全部画出)，图中机床机座为台体，动杆为定长，上端以球铰副与导轨上的滑块相连，下端以球铰副与动平台相连，导轨的倾斜度可调。
2　运动学建模
　　建立si(xe,ye,ze,φx,φy,φz)显式表达式，其中：xe,ye,ze为动平台上刀具刀尖坐标。设刀具垂直于动平台，则φx,φy,φz分别表示刀具矢量与各坐标轴夹角。如图2所示的坐标系中，台体下表面中心为绝对坐标系原点O，动平台中心为参考坐标系原点O′，动杆长度L和刀具长度L′为定长，动平台中心绝对坐标为O′(xp,yp,zp)，设pi为动平台上某点，其绝对坐标为(xi,yi,zi)，pi相对坐标为(xpi,ypi,zpi)，si坐标为(spi,spi,spi)(i=1,…,6)，则：pi点坐标(xi,yi,zi)可经过矩阵变换求得：

, H- y6 e6 I, k0 X9 V: E图2　运动学模型 　　(1)
　　因动平台具有6个自由度，绕轴y′转动自由度可由安装在动平台上刀具的转动代替［4］，所以求坐标变换矩阵T时可限定动平台不绕其自身主轴y′转动。设其先绕z′轴转α(-π/2，π/2)角，再绕x′轴转β(-π/2,π/2)角，这样处理大大降低了动杆之间干涉的可能性，故有 　　(2)
动平台中心坐标可由式(3)求得：
［xp　yp　zp］T=-L′［cosφx　cosφy　cosφz］T+［xe　ye　ze］T　　(3)
% l, `* |' W$ l+ K# r0 w6 D当设L′=1时，将式(1)(2)(3)联立，即可求出如下关系：
cosφx=sinα,　cosφy=-cosβcosα,　cosφz=-sinβcosα　　(4)
# N  {. K# b$ D; z6 I由两点距离公式得出
+ K) {4 F" ?* O! ?5 o5 T# x8 \L2=(xi-six)2+(yi-siy)2+(zi-siz)2　(i=1，…，6)　　(5)
  `, I( _$ v8 x# U# q- E# ?
- u. |* M  i& m图3　速度分析模型
% u2 @. P' `' u0 |  |- r1 r, g　　给出一组属于位置空间集合和姿态空间集合｛xe,ye,ze,φx,φy,φz｝T，便可得到一组驱动量si，由式(5)可知，一组｛xe,ye,ze,φx,φy,φz｝T对应2个si的解，解的取值按运动连续性选取。
% n' z" I7 F( m% S9 j7 c6 H' I3　速度分析
3.1　速度逆解
　　设图3机构简图中，当前姿态下铰链点si以速度vsi沿导轨滑动，pi为动平台球副中心，速度为vpi，s0i为滑块起始参考点，刀具端点e速度为ve，动平台以角速度ω旋转，刀具垂直固定于动平台上，交点为动平台中心f，其速度为vf。设动杆PS、动平台及刀具均为刚体，则vsi，vpi，vf,ve有如下关系：
8 y1 o: v# X) s$ }
; r5 a, M/ C3 F( Y( o9 O) {" h+ \其中　 i， , 的瞬时值可由位置逆解来确定。将式(6)(7)(8)联立得速度逆解表达式
) e8 t0 t. U8 v* c/ V
2 l8 w" c7 x9 s* b( b; m其中｛ve｝=｛vex vey vez｝T，｛ω｝=｛ωx ωy ωz｝T。根据本系统建模要求有ωy≡0。
3.2　速度正解
9 ~9 S; L+ R- J9 W' b　　由建模要求有ωy≡0，故当i=1，…，5时由式(9)可得 　(10)
其中　
　　设由方程组(10)得到一组解｛v′ex,v′ey,v′ez,ω′x,ω′z｝T，则有
, ?: B2 t4 ^0 B' k* V* s
+ u: t2 y+ P0 k' K  V: E" c  wvs6方向已知，故可求出大小，至此得出速度正解。由图3还可以进行加速度分析。
4　实　例
, F6 E7 Q1 m. n' L0 ?$ y　　以下是利用自行开发的软件，对6-PSS虚拟轴机床驱动端运动规律仿真的算例。
　　系统坐标单位长为e，图1所示机构的结构尺寸为：台体上平台半径r=4e，下平台半径R=6e，垂直高度h=15e，动杆长L=20e，刀具长为l=e。刀具头位置与动平台姿态的初始参数如图4。图5、图6为不同执行端速度的两组曲线(其中速度单位为m/s，角速度单位为rad/s)。两组曲线的变化规律与定性分析的结论一致，说明运动学分析的结果准确。

图4　初始状态参数
+ D: y) n1 E' M4 b
图5　驱动端运动规律(｛ve｝=｛0，0，0｝，｛ω｝=｛0，0，0.785×104｝)

% X, I  I$ y7 @2 `; F+ n图6　驱动端运动规律(｛ve｝=｛1，-1，0｝，｛ω｝=｛0，0，0.524×10-4｝)
" p* _# q8 F7 e+ }文章关键词： 机床