圆柱铣刀前刀面法曲率的计算

魔神

    1．前言
　　对于前刀面为平面的刀具，前角和其它几何角度一起可完全确定前刀面的方位；而对于前刀面为曲面的刀具，几何角度则只能确定前刀面在刀刃处的切平面，不能确定前刀面的形状。前刀面的形状，特别是刀刃处前刀面的弯曲情况对卷屑、断屑和排屑影响甚大，是刀具的一个重要性能指标。文献［1］研究了如何精确磨出圆柱形螺旋刃铣刀的法向前角。本文将在此基础上，进一步对已经保证了法向前角的前刀面进行研究，求出它在刀刃处的法曲率，特别是与刀刃垂直方向的法曲率，从而了解刀刃处前刀面的弯曲状况，为制造性能优良的铣刀提供理论依据。
　　2．前刀面描述
　　图1为用砂轮外圆磨削圆柱铣刀前刀面的情况，磨削原理及各符号的意义已在文献［1］中作了说明。前刀面方程为^［1］

其中θ和为参变数，θ和参数曲线方向的切矢和为

图1　砂轮与刀具的相对位置

　　这是一般性切矢方程，对于图1中的M点则有

M点两条参数曲线方向的单位切矢仍用r_θ和r_φ表示，它们为　　

（5）式中，P为前刀面的螺旋参数，为M点与xoz平面的夹角　　

　　M点的单位法矢n（正向由前刀面指向容屑槽）为

　　3．方向的法曲率K_φ
　　由图1，砂轮端面与前刀面（1）的交线是半径为R_c的圆，它在M点的曲率为。由于是平面曲线，该点单位主法矢β_c为（图1）

与之间的夹角θ₁为
　　cosθ₁＝.＝n_xsinφcosβ_w－n_ysinφsinβ_w＋n_zcosφ              （10）

由默尼埃定理^［2］可得法曲率

　　4．方向的法曲率K_θ和短程挠率G_θ
　　由于前刀面为圆柱螺旋面，θ参数曲线就是半径r＝d／2的圆柱面上的螺旋线。圆柱螺旋线上任一点的曲率k和挠率τ为常数，它们为（参见［2］P41的例2）　　

　　螺旋线上任一点的主法矢与螺旋线轴线垂直相交（参见［3］P59的习题3），所以M点的单位主法矢为

＝o，－sin，－cos              （14）

与前刀面法矢n之间的夹角θ₂为

cosθ₂＝^.＝－n_ysin－n_zcos              （15）

所以，方向的法曲率K_θ为

　　圆柱螺旋面上沿一条螺旋线（θ参数曲线）上任一点的螺旋面法矢与螺旋面轴线（x轴）的夹角也是固定的，所以该螺旋线的主法矢与相应点的螺旋面法矢的交角也是固定的。由此可得（参见［2］P237的定理3）

　　5．M点的法曲率及前刀面法向截形曲率半径ρ_M
　　图2为M点切平面内的情况。作的垂直方向，它也是M点处刀刃的法截线方向，该方向的法曲率用K_N表示，则该方向的短程挠率为－G_θ。

图2　M点的切平面

　　与之间的

夹角Δ为

cosΔ＝r_θ^.r_φ              （18）

方向的法曲率和短程挠率满足
　　K_φ＝K_θcos²Δ＋2G_θsinΔcosΔ＋K_Nsin²Δ
所以
　　K_N＝（K_φ－K_θcos²Δ－2G_θsinΔcosΔ）／sin²Δ              （19）

由此即得M点法向截形的曲率半径ρ_M为

求得K_N之后，即可求得任一方向r_α（图2）的法曲率K_α和短程挠率G_α为
　　K_θ＝K_θcos²α＋2G_θsinαcosα＋K_Nsin²α              （21）

　　G_α＝（K_N－K_θ）sinαcosα＋G_θ（cos²α－sin²α）              （22）

　　到此，M点的法曲率问题已完全解决。在实际切削中，流屑方向一般不在r_N方向，按（21）式即可求出流屑方向的法曲率，进而可研究流屑剖面（不一定是法截面）内前刀面的弯曲状况。
　　6．算例与说明
　　以立铣刀为例，铣刀直径d＝50mm，螺旋角β＝45°，法向前角γ_n＝15°，磨削深度h＝10mm，所用砂轮半径R_c＝35mm，砂轮轴线与刀具轴线之间的夹角β_w＋90°＝136．5°，磨削中心距H＝48．874mm，磨削偏距E＝－8．338。求得K_θ＝0．005176379，G_θ＝0．02，K_φ＝0．00250113，Δ＝120．7778326°，ρ_M＝39．4074mm。
　　对于一定的切削条件以及特定的卷屑、断屑和排屑要求，存在一个理想的前刀面弯曲状况，一般设计刀具时可以用ρ_M来表征。当按给定的磨削工艺参数计算出的ρ_M不能满足要求时，可以改变一些可调参数，例如重新计算R_c和β_w。