滚切正多边形工件的滚刀齿形设计
正多边形零件是工程上常用的工件，一般工厂均采用铣削工艺加工，生产效率低，制品精度差。大批量生产时，可考虑采用滚削工艺以提高生产效率。一、设计原理
按平面啮合原理求出与工件齿形相共轭的齿条齿形，将该齿条齿形作为滚刀的法向齿形。
工件齿形为任意齿形（非渐开线齿形）时，滚刀法向齿形的通用求法可按下述步骤进行（参见图1、图2）：
图1
图2
（1）建立工件坐标系xoy及刀具坐标系x0o0y0；
（2）确定共轭时的节圆半径rj；
（3）写出工件的齿形表达式y＝f（x）；
（4）写出滚刀的法向齿形（基准齿条齿形）表达式
式中 φ＝π／2－α－δ
（3）
cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj
（4）
tgδ＝dy／dx
（5）
图1中，xoy为工件坐标系，随工件转动。x0o0y0为刀具坐标系，随刀具平移。x1o1y1为参考坐标系，静止不动。图2中，M点为工件齿形上的任意一点，A点为M点的法线与节圆的交点，φ为M点的转角（转过φ后法线MA将通过节点P），α为变角，等于∠AOB，δ为M点的切线与x轴的夹角。
二、设计步骤
1．引入各坐标系
各坐标系见图3所示。
图3
2．确定节圆半径rj
节圆半径的选择十分重要，选择不当，所求共轭齿形会出现反折尖点，从而产生对工件齿形的根切或顶切；节圆半径取得过小，所求共轭齿形有一部分可能不存在。对于直边工件齿形，其最小节圆半径为
（6）
式中，ra为工件外圆半径，此时即为正n边形的外接圆半径；a为形圆半径，此时即为正n边形的内切圆半径。为了计算方便，一般可将节圆取在其外圆上，故
rj＝ra
（7）
3．写出工件齿形方程
图3中，CD为正n边形的一条边，E为CD的中点，EO为正n边形的内切圆半径，令EO＝a，则工件的齿形表达式为
4．求刀具齿形公式
①按式（5）得
②按式（4）得 cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj＝x／rj＝x／ra，即
cosα＝x／ra
（9）
③按式（3）得
（10）
将（7）、（8）、（10）式代入（1）、（2）式得
（11）
（12）
α的变化范围是从D点到E点（见图3），故当α在D点时，据式（9）得
cosαmin＝xD／ra＝ED／ra＝（l／2）／ra
（13）
式中l为正n边形的边长。
当α在E点时，据式（9）得
cosαmax＝xE／ra＝0
αmax＝90°
这样，在αmin～90°范围内，选定不同的α后即可确定不同的x，代入式（1）、（2）即可得出整个滚刀的法向齿形坐标。
综上所述，当已知正n边形的边数n，边长l，外接圆半径ra，内切圆半径a，则正n边形滚刀的法向齿形可按以下各公式求出：
x0＝xsinα－acosα＋ra（90°－α）π／180°
（14）
y0＝ra－xcosα－asinα
（15）
cosα＝x／ra （x＝racosα，x＝0～l／2）
（16）
αmin＝arccos（l／2ra）
（17）
αmax＝90°
（18）
法向齿距Pn＝2πra／n
（19）
三、滚刀计算实例
已知正六边形工件如图4所示。
图4
则 ra＝20
a＝35．47／2＝17．735（按中间值计算）
arccosαmin＝（l／2）／ra＝62．46765222°
αmax＝90°
x＝0～9．244986479
将α在αmin～90°范围内求出相对应的x后代入式（14）、（15），即可得出刀具法向齿形坐标（见下表）和滚刀的齿形图（见图5）。
表
α
αmin
64°
65．5°
…
71．5°
…
86．5°
88°
89°
90°
x＝（15）式
9．245
8．767
8．294
…
6．346
…
1．221
0．698
0．349
0
x0＝（13）式
9．610
9．181
8．745
…
6．848
…
1．358
0．777
0．388
0
y0＝（14）式
0
0．217
0．422
…
1．168
…
2．224
2．251
2．262
2．265
滚刀法向齿距Pn＝2πrj／n＝2πra／n＝2π×20／6＝20．944
图5
图5中，x0轴以上节线为曲线齿形，x0轴以下节线取直线齿形（不参加展成切削），其近似齿形角β可按αmin及邻近α处的x0，y0坐标计算得出。本例取αmin及α＝65.5°的坐标值，则
arctgβ／Δx0／Δy0＝9.610－8.745／0.422＝64°
全齿深在y0、αmax基础上加上0.2～适量的间隙量（以保证滚刀齿底牙宽不至于太尖为原则），本例加0.25mm，故全齿深取2.265＋0．25＝2.515mm。
因工艺需要，须给出代用圆弧参数，由于齿形对称于y0轴，故取代用圆弧圆心位于y0轴上，令代用圆弧半径为Ra，坐标距离为xa，ya，则根据几何关系可得弓形高EO0为
即
经整理得
http://www.wanfangdata.com.cn/qikan/periodical.articles/gjjs/gjjs99/gjjs9905/image5/70.gif
（20）
xa＝x0αmin
（21）
ya＝Ra－y0αmax
（22）
本例中y0αmax＝2．265，x0αmin＝9．610，代入式（20）和式（21），得出的相关参数为：Ra＝21．519mm，xa＝9．610，ya＝19．254。【MechNet】
文章关键词： 刀齿
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