滚切正多边形工件的滚刀齿形设计

李朋

　正多边形零件是工程上常用的工件，一般工厂均采用铣削工艺加工，生产效率低，制品精度差。大批量生产时，可考虑采用滚削工艺以提高生产效率。
7 o( F9 j( G" \- p一、设计原理
　　按平面啮合原理求出与工件齿形相共轭的齿条齿形，将该齿条齿形作为滚刀的法向齿形。
' J9 G0 q3 }: W1 {. D# G, S. O. z　　工件齿形为任意齿形（非渐开线齿形）时，滚刀法向齿形的通用求法可按下述步骤进行（参见图1、图2）：
: u3 G! u+ G$ E, r
# F7 b0 [3 @  S* v# j图1

图2
　　（1）建立工件坐标系xoy及刀具坐标系x0o0y0；
" j2 n: I2 A2 |5 u- Y1 ^　　（2）确定共轭时的节圆半径rj；
! K9 n( f$ K% d( f% o, W　　（3）写出工件的齿形表达式y＝f（x）；
+ v+ X8 e0 n* O" y　　（4）写出滚刀的法向齿形（基准齿条齿形）表达式
" n) _& B; s; p, @8 a
: C; c$ y! [1 A式中　φ＝π／2－α－δ
（3）
　　　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj
- A1 j8 L, K; k0 f2 [( \4 D（4）
　　　tgδ＝dy／dx
3 g: T  l0 e, ?- k2 J1 L7 e4 r（5）
7 F; v- y7 V4 L; {4 C9 |　　图1中，xoy为工件坐标系，随工件转动。x0o0y0为刀具坐标系，随刀具平移。x1o1y1为参考坐标系，静止不动。图2中，M点为工件齿形上的任意一点，A点为M点的法线与节圆的交点，φ为M点的转角（转过φ后法线MA将通过节点P），α为变角，等于∠AOB，δ为M点的切线与x轴的夹角。
  g+ G, r, O2 s/ `二、设计步骤
. @+ L2 E, ?  R　　1．引入各坐标系
　　各坐标系见图3所示。

图3
& z  z3 _: t) |8 ~* N1 K　　2．确定节圆半径rj
: E( U. J7 K5 F4 W+ h! t* I' z1 B　　节圆半径的选择十分重要，选择不当，所求共轭齿形会出现反折尖点，从而产生对工件齿形的根切或顶切；节圆半径取得过小，所求共轭齿形有一部分可能不存在。对于直边工件齿形，其最小节圆半径为
/ \' p% L8 f. M
& v5 l. T6 f+ K1 X5 v0 m（6）
式中，ra为工件外圆半径，此时即为正n边形的外接圆半径；a为形圆半径，此时即为正n边形的内切圆半径。为了计算方便，一般可将节圆取在其外圆上，故
* i0 X% S; y+ p7 C/ lrj＝ra
& b( Q0 C/ [1 c: q; I0 T（7）
# c0 ?4 p5 g  ?　　3．写出工件齿形方程
1 J/ l' [$ K5 g6 g& I2 ?# H　　图3中，CD为正n边形的一条边，E为CD的中点，EO为正n边形的内切圆半径，令EO＝a，则工件的齿形表达式为
　　4．求刀具齿形公式
$ `. A5 x2 v9 p- [+ ]6 w& s% m& G　　①按式（5）得　
# `+ X- p) L  o$ x9 M* e5 O　　②按式（4）得　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj＝x／rj＝x／ra，即
cosα＝x／ra
（9）
& T3 G) }/ y8 W- {. U1 p　　③按式（3）得
2 L8 M  K1 W0 u. S8 t5 o
（10）
　　将（7）、（8）、（10）式代入（1）、（2）式得

（11）
8 k+ W9 s( ]: ?, b2 A# M! n" ]
（12）
# f# M) {; g" d9 l4 K# q　　α的变化范围是从D点到E点（见图3），故当α在D点时，据式（9）得
cosαmin＝xD／ra＝ED／ra＝（l／2）／ra
( v6 g- n5 E+ P2 u9 ?（13）
) A( ]* w* @* p4 j, ~　　式中l为正n边形的边长。
+ j& i) U8 w0 ~% t5 D　　当α在E点时，据式（9）得　　
1 t9 i" d) @. a& w! w9 Ocosαmax＝xE／ra＝0
αmax＝90°
% e. Y: y: U3 \% S1 A1 p　　这样，在αmin～90°范围内，选定不同的α后即可确定不同的x，代入式（1）、（2）即可得出整个滚刀的法向齿形坐标。
! w6 ^: K( H) @　　综上所述，当已知正n边形的边数n，边长l，外接圆半径ra，内切圆半径a，则正n边形滚刀的法向齿形可按以下各公式求出：
x0＝xsinα－acosα＋ra（90°－α）π／180°
（14）
y0＝ra－xcosα－asinα
; m$ {* U. C% Y# E" B（15）
# Z% }5 `0 b# G. ]( C1 T# @8 Ycosα＝x／ra　（x＝racosα，x＝0～l／2）
（16）
1 l) I# g6 m% T  Dαmin＝arccos（l／2ra）
! e! O* D5 f- B0 `- C+ y（17）
αmax＝90°
1 V$ r: `" P2 _" `（18）
+ N9 ]' r% q! B% [/ j: f0 T0 ?法向齿距Pn＝2πra／n
（19）
三、滚刀计算实例
　　已知正六边形工件如图4所示。

4 u* r' F2 ^' \( h" z" O7 ^图4
　　则　ra＝20
　　a＝35．47／2＝17．735（按中间值计算）
' Z# B; H6 C! Z7 r# E( c　　
% u, t# @1 t& k5 j. X　　arccosαmin＝（l／2）／ra＝62．46765222°
0 p( }3 i1 Y6 a: @" N　　αmax＝90°
　　x＝0～9．244986479
! d8 C  s% d4 M　　将α在αmin～90°范围内求出相对应的x后代入式（14）、（15），即可得出刀具法向齿形坐标（见下表）和滚刀的齿形图（见图5）。
. p0 {( d* ?' M7 I表
2 ^6 \) S/ x9 e# N+ lα
αmin
( U' V. m* \, |! |6 G64°
65．5°
9 m" q& Q+ Q" v) }0 T…
71．5°
9 {* N; b% O" k…
86．5°
5 x3 H& S1 A- S, T! S- H" f( v  r88°
* n  z/ N0 u! W, u* {89°
- [# Y0 j- p( d% n90°
  U2 r$ r# Y2 S' N7 h  j$ {1 Ox＝（15）式
9．245
8．767
8．294
…
) w! `0 n7 v' u5 L+ C; e6．346
! w4 Z# C1 G# G) W…
1．221
0．698
0．349
0
% P7 j, A% T. X9 [. f4 Mx0＝（13）式
9．610
- I: G! u+ a" x! @( s/ b9．181
- c8 i2 B; @7 b! w8．745
…
6．848
…
1．358
3 }9 S& k$ T! \# `2 M+ e7 R0．777
4 y% t) \# n# c: H0．388
; i, U3 N8 L1 p. T# I( M  d. o+ Z1 |/ `0
1 L9 `9 q$ K, W4 Ey0＝（14）式
' v. h$ y) g% H/ Y' Q0
0．217
0．422
# Z% M/ k1 V1 G, T( Z3 }…
1．168
* ]4 ]1 F4 \0 Y& @  H( W…
7 {; F. h* C: q, d7 X2．224
2．251
2．262
: X/ k. D/ r9 Y2 V* I- }, Q+ H8 r2．265
- a7 {) P0 H% j4 N$ N5 ?+ M# T滚刀法向齿距Pn＝2πrj／n＝2πra／n＝2π×20／6＝20．944
2 h  \1 O% W( m0 v
0 o4 ^( `$ h4 v( a图5
　　图5中，x0轴以上节线为曲线齿形，x0轴以下节线取直线齿形（不参加展成切削），其近似齿形角β可按αmin及邻近α处的x0，y0坐标计算得出。本例取αmin及α＝65.5°的坐标值，则
arctgβ／Δx0／Δy0＝9.610－8.745／0.422＝64°
8 R  \/ E) k+ K5 U# V$ ?　　全齿深在y0、αmax基础上加上0.2～适量的间隙量（以保证滚刀齿底牙宽不至于太尖为原则），本例加0.25mm，故全齿深取2.265＋0．25＝2.515mm。
; j$ j, l4 G0 J% P+ l  W　　因工艺需要，须给出代用圆弧参数，由于齿形对称于y0轴，故取代用圆弧圆心位于y0轴上，令代用圆弧半径为Ra，坐标距离为xa，ya，则根据几何关系可得弓形高EO0为
8 [' m, d' g' C4 U1 X! M
即

经整理得

                               
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（20）
xa＝x0αmin
（21）
# J2 i$ E" r. h3 g, xya＝Ra－y0αmax
/ J& ~% {8 G) b: g) s（22）
　　本例中y0αmax＝2．265，x0αmin＝9．610，代入式（20）和式（21），得出的相关参数为：Ra＝21．519mm，xa＝9．610，ya＝19．254。【MechNet】
6 S7 k* d5 V% @* w% h文章关键词： 刀齿