多轴联动线性插补及其“S加减速”规划算法
1 前言多轴联动的线性插补及其加减速算法是高档数控系统的核心技术。加减速处理分前加减速处理和后加减速处理。前加减速处理在插补之前，其优点在于对合成速度进行控制，不影响位置精度，但要进行减速点的预测。前加减速通常采用直线加减速。后加减速是对各插补轴分别进行加减速控制，由于各轴之间没有协调关系，因此，合成位置可能不准确。
S曲线加减速通常用于后加减速处理，我们在开发基于开放式数控系统的多坐标联动纤维缠绕机时，将其应用于前加减速处理，取得了很好的效果。
2 多轴联动的线性插补S加减速
S曲线加减速规划是指在加减速时，使其加速度的导数(Jerk) da/dt为常数，通过对加Jerk值的控制来最大限度地减小对机械系统造成的冲击。另外，通过对加速度和Jerk两个物理量的参数设定或编程设定，可实现柔性加减速控制，以适应不同种类机床的工况。
设在n维线性插补数控程序中，任意一段插补数据为
| P1, P2, …，Pn, F |其中：F为合成速度，P1～Pn为各插补轴当前段的位移。
根据线性插补原理，各插补轴的位移与速度比相等，则有应于各插补轴的分速度。令
|Pi|
=
P
=TSEP i=1, 2, …, n
Fi
F
图1 “S加减速”规划原理图
式中：P=(Pi2)½表示合成位移；TSEP表示该线性插补段各轴同时到达终点所需时间；F1～F2为合成速度对应于各插补轴的分速度。
令
Ki=
Pi
i=1, 2, …, n
P
Fi=KiF i=1, 2, …, n
(3)
在前加减速处理时，对给定速度进行规划，如图1所示，整个加减速过程分为三段，即加速段(1, 2, 3区)，匀速段(4区)和速段(4, 5, 6区)。在加速段和减速段，又分别包括变加减速区(1, 3, 5, 7区)和恒加减速区(2, 6区)：变加减速区，|da/dt|=J, Jerk为恒值；恒加减速区，|a|=A，加速度为恒值，匀速段(4区)的速度为恒值Vc。
各轴的运动参量成比例
对已规划的合成速度v(t)在te点幂级数展开，令∆t=t-tx，有
v(t)=v(tx)+a(tx)∆t+½J(te)∆t2
(4)
同理，各插补轴对应．点速度
vi(t)=vi(te)+ai(te)∆t+½Ji(tx)∆t2F i=1, 2, …, n
(5)
根据线性插补原理，合成速度与各插补轴速度有下列比例关系：
vi(t)=Kiv(t)F i=1, 2, …, n
(6)
对于上面恒等式，应有
vi(tx)=Kiv(tx), ai(tx)=Kia(tx), Ji(tx)=KiJ(tx)
(7)
由于tx为任意一点，此式表明段内加减速过程中各插补轴的速度、加速度和Jerk分别与合成的速度、加速度和Jerk对应成比例。当对合成速度按S曲线规划时，各插补轴在保证空间轨迹的同时，也按S曲线进行加减速，即S曲线加减速可用于前加减速控制。同时，上述关系可用于各插补轴的速度、加速度和Jerk的极限值检查。
S加减速的插补递推公式
设插补周期为T，则在第k个插补周期结束时的合成位移Sk为
∫
tk
v(t)dt=
∫
tk-1
v(t)dt+
∫
tk-1+T
v(t)dt=Sk-1
∫
t
(vk-1+ak-1t+½Jt2)dt
=Sk-1+vk-1T+½ak-1T2+(1/6)JT3
0
0
tk-1
0
第k个插补周期内的合成位移增量为
∆Sk=vk-1T+(1/2)ak-1T2+(1/6)JT3=vk-1T+(1/2)(ak-1+(1/3)JT)T2=vk-1+(1/2)akT2=(vk-1+(1/2)akT)=vkT
(9)
ak=ak-1+(1/3)JT
(10)
vk=vk-1+(1/2)akT
(11)
注意，上述递推公式是分区适应的，即
J=
{
J, T∈∪t6，t7
0, t∈(t1，t2)∪(t3，t4)∪(t5，t6)
-J, t∈∪
只要初始条件ak-1和vk-1给定，则可推导出各插补周期的合成位移增量。进而得到各插补轴在插补周期内的位移增量，其公式为
∆Pik=
Pi
∆Sk=Ki∆Sk
P
区间的判别
段内加减速时，每程序段伺服电动机速度总要减到零后再执行下一程序段。因此其加速段和减速段的位移相等，见图1。
1区(t0-t1)的初始速度和初始加速度为0，则在t1时刻的位移Pti=(1/6)Jt13，其加速度a1=A=Jts，速度Vt1=(1/2)At12=(1/2)Ats，则
ts=t1=A/J
(14)
由图1中的加速度图线可以看出
V=(1/2)Ats+Atl+(1/2)Ats=A(ts+tl)
(15)
tl=(V/A)-(A/J)
(16)
ta=2ts+tl=(V/A)+(A/J)
(17)
图2 插补计算流程框图
∆S=P-
k
∆Sk
∑
1
∆Si=Pi-
k
∆Pik
∑
1
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