多轴联动线性插补及其“S加减速”规划算法

剑映月

1 前言
多轴联动的线性插补及其加减速算法是高档数控系统的核心技术。加减速处理分前加减速处理和后加减速处理。前加减速处理在插补之前，其优点在于对合成速度进行控制，不影响位置精度，但要进行减速点的预测。前加减速通常采用直线加减速。后加减速是对各插补轴分别进行加减速控制，由于各轴之间没有协调关系，因此，合成位置可能不准确。
! I$ ?" {: H: `  |: [& X6 y$ T1 RS曲线加减速通常用于后加减速处理，我们在开发基于开放式数控系统的多坐标联动纤维缠绕机时，将其应用于前加减速处理，取得了很好的效果。
2 多轴联动的线性插补S加减速
S曲线加减速规划是指在加减速时，使其加速度的导数(Jerk) da/dt为常数，通过对加Jerk值的控制来最大限度地减小对机械系统造成的冲击。另外，通过对加速度和Jerk两个物理量的参数设定或编程设定，可实现柔性加减速控制，以适应不同种类机床的工况。
设在n维线性插补数控程序中，任意一段插补数据为
6 b. ?( U+ l  \7 V| P1, P2, …，Pn, F |其中：F为合成速度，P1～Pn为各插补轴当前段的位移。
  E1 e' c! C' _# A* d, Z根据线性插补原理，各插补轴的位移与速度比相等，则有应于各插补轴的分速度。令
+ p. v: i; ?$ l2 X# E2 U# r+ n|Pi|
( w, _# n. N6 c0 ~7 I=
/ j1 T# x, n/ O1 B$ a4 GP
=TSEP      i=1, 2, …, n
' C6 _3 L/ R6 f( hFi
" f( O' O, E% K3 m2 u/ k9 lF

图1 “S加减速”规划原理图
2 ^# ?+ p2 u3 R$ Q式中：P=( Pi2)½表示合成位移；TSEP表示该线性插补段各轴同时到达终点所需时间；F1～F2为合成速度对应于各插补轴的分速度。
+ m& W3 D: \+ F令
Ki=
Pi
i=1, 2, …, n
P
Fi=KiF      i=1, 2, …, n
2 A) D$ r% V! f' [0 Y( P( Y(3)
" t: p; Q5 Y4 Z! h% a1 W( H在前加减速处理时，对给定速度进行规划，如图1所示，整个加减速过程分为三段，即加速段(1, 2, 3区)，匀速段(4区)和速段(4, 5, 6区)。在加速段和减速段，又分别包括变加减速区(1, 3, 5, 7区)和恒加减速区(2, 6区)：变加减速区，|da/dt|=J, Jerk为恒值；恒加减速区，|a|=A，加速度为恒值，匀速段(4区)的速度为恒值Vc。
各轴的运动参量成比例
对已规划的合成速度v(t)在te点幂级数展开，令∆t=t-tx，有
* `% C# V8 p( b! Uv(t)=v(tx)+a(tx)∆t+½J(te)∆t2
(4)
同理，各插补轴对应．点速度
vi(t)=vi(te)+ai(te)∆t+½Ji(tx)∆t2F      i=1, 2, …, n
(5)
根据线性插补原理，合成速度与各插补轴速度有下列比例关系：
vi(t)=Kiv(t)F      i=1, 2, …, n
(6)
对于上面恒等式，应有
" C9 Q& Y, H) j: }0 |vi(tx)=Kiv(tx), ai(tx)=Kia(tx), Ji(tx)=KiJ(tx)
# z8 t0 J1 s# u: s& L: r7 j9 W8 M(7)
由于tx为任意一点，此式表明段内加减速过程中各插补轴的速度、加速度和Jerk分别与合成的速度、加速度和Jerk对应成比例。当对合成速度按S曲线规划时，各插补轴在保证空间轨迹的同时，也按S曲线进行加减速，即S曲线加减速可用于前加减速控制。同时，上述关系可用于各插补轴的速度、加速度和Jerk的极限值检查。
S加减速的插补递推公式
设插补周期为T，则在第k个插补周期结束时的合成位移Sk为
3 I$ c2 u$ f. @. q- h; _9 }∫
7 F* x1 p" b* O  P9 d6 @2 Jtk
, m3 t; |, h3 f9 E: |v(t)dt=
∫
: Y4 e/ L5 p9 s  Dtk-1
v(t)dt+
∫
4 U1 _' o+ A+ K; v: _tk-1+T
v(t)dt=Sk-1
. A+ _- \( }$ @  L( r∫
2 L- p% j" S8 E- xt
  r, d+ K; {  i" p0 f- L4 f' e(vk-1+ak-1t+½Jt2)dt
=Sk-1+vk-1T+½ak-1T2+(1/6)JT3
0
6 ?! |! V. t8 f* }# w% v3 T0
- r2 n: x6 l  m- U/ I& @0 ktk-1
: r4 d  O# M6 S" i0
' q, R* e2 A% b, G第k个插补周期内的合成位移增量为
∆Sk=vk-1T+(1/2)ak-1T2+(1/6)JT3=vk-1T+(1/2)(ak-1+(1/3)JT)T2=vk-1+(1/2)akT2=(vk-1+(1/2)akT)=vkT
(9)
ak=ak-1+(1/3)JT
(10)
$ |+ J( i  g6 \- a  rvk=vk-1+(1/2)akT
(11)
注意，上述递推公式是分区适应的，即
J=
2 J1 `7 y# g! D& W{
" d( @  C) g* s5 h  pJ, T∈[t0，t1]∪t6，t7
3 V% ]$ y: {1 D/ H/ J+ A4 ]" m0, t∈(t1，t2)∪(t3，t4)∪(t5，t6)
( q! g, h+ j6 ~* L  K3 q9 a, r0 v& C-J, t∈[t2，t3]∪[t4，t5]
只要初始条件ak-1和vk-1给定，则可推导出各插补周期的合成位移增量。进而得到各插补轴在插补周期内的位移增量，其公式为
∆Pik=
Pi
∆Sk=Ki∆Sk
P
区间的判别
段内加减速时，每程序段伺服电动机速度总要减到零后再执行下一程序段。因此其加速段和减速段的位移相等，见图1。
1区(t0-t1)的初始速度和初始加速度为0，则在t1时刻的位移Pti=(1/6)Jt13，其加速度a1=A=Jts，速度Vt1=(1/2)At12=(1/2)Ats，则
1 `5 v; L$ b5 h. Fts=t1=A/J
(14)
) [) I, U, f1 R& s% C% _由图1中的加速度图线可以看出
V=(1/2)Ats+Atl+(1/2)Ats=A(ts+tl)
(15)
tl=(V/A)-(A/J)
# G1 q" Q# |" A" x1 @6 |% E9 p(16)
ta=2ts+tl=(V/A)+(A/J)
' M) ^/ O6 e4 a5 G9 {& r- N2 T! {(17)

图2 插补计算流程框图
∆S=P-
k
1 Y8 `" ^+ V  x5 D& _; ]∆Sk
  n% Q# |  Z+ i' v3 ^! j∑
+ F* c; R0 X. |! `: s8 e1
; O& C0 F3 H% r/ E, k% u5 Z, _∆Si=Pi-
k
" j( ~6 ^1 D- G2 G) O∆Pik
2 m6 c5 m9 y, K" {1 M∑
1