一种新型的线性分段插值法的研究

HEATS

1 引言

! S* _9 n4 M" g# K" S* ?

在工业生产实践中，系统误差是不可避免而又必须加以校准的。对其较典型的处理是用模型法的非线性校正，即对系统误差进行理论分析和数学处理以建立起系统误差模型，再以此模型确定校正算法和数学表达式。作者在进行系统误差非线性校正中，除采用了传统的分段线性插值法，还根据具体情况采用了作者命名为逐次逼近线性插值法进行处理。通过对两种方法结果的比较，认为逐次逼近线性插值法效果良好，具有一定的实用价值。线性化处理软件编程法分三种方法：计算法、查表法、插值法；其中，插值法又分分段线性插值法、二次插值法、分段曲线拟合法、实验曲线的自动拟合法等。下面先简介分段线性插值法。
/ H* N1 |" s3 K h0 K3 r) h* l8 E+ m7 ~' Y

图1

2 分段线性插值法

! E/ \1 O) @5 W: j. o& d

此法较为常用，基本方法就是将y=f(x)曲线分成几段直线代替曲线。如图1示。 6 Y1 K* Y( @) R1 ^7 V

设非线性函数y=f(x)在区间[x₀,x_m]是单调的。过点(x₀,f(x₀)),(x_m,f(x_m))作直线U=F(x)=Ax+B,则在直线段区间中，其拟合误差： - ]. U) t' j* E$ k: }, [, F) t* v* M/ {2 R' ~1 y- n3 U% Y$ {& |

D=	F(x)-f(x) # B5 z w8 Q; M
	0 U5 E6 s4 e* A4 S% M* g; t; G
	f(x)

若该段最大误差点不大于允许误差时，可用直线U=F(x)拟合曲线u=f(x),否则可将区间再细分分化为两个子区间，分别作折线进行误差判断。这样按上述方法不断进行区间划分，直至各子区间m(x)均满足为止。

由于输入-输出函数的非线性，且要求各子区间的拟合最大误差满足△_max≤δ,因而各子区间长度不一。这就涉及到了区间划分问题。分段线性插值法使用优选法进行区间划分，即使用系数0.618。如图1所示，从x_m处向低值截取x_k=0.618(x_m-x₀)的一段为第二区间，(x₀,x_k)为第一区间。连接点(x_k,f(x_k)),(x_m,f(x_m)),既得区间[x_k,x_m]的拟合折线为： - Z* r4 ~! b& Z! P% e$ [6 V' x

F₁=A₁x+B₁

A₁=(f(x_m)-f(x_k))/(x_m-x_k),B₁=f(x_m)-A₁x_1m $ `) w: c) S3 a$ K& o( b& a

依次类推，可知第i个子区间的拟合折线为： / h4 W0 g9 I2 b1 p1 M9 i3 M

F_i=A_ix+B_i

A_i=(f(x_(i+1)m)-f(x_im))/(x_(i+1)m-x_im),B_i=f(x_im)-A_ix_im

若f(x)为非单调曲线，则可先通过df/dx=0求出各极点，以便化为单调区，再在各单调区间应用上述方法进行拟合。

图2 二分法分段线性插值法

3 逐次逼近线性插值法

作者在对分段线性插值法的作用中发现，该法中公式的系数取0.618,这对均匀数组来说易引起编程错觉。如在求区间段中，当m-k=2时，X=x[m]-0.618(x[m]-x[k])，则x[m]若数组个数为m+1个，则在区间(x[0],x[m])范围内，令X=x[m]-0.5(x[m]-x[0])进行第一次划分，若X=x[k]或x[k]4 方法比较

# H9 G0 m& _! h0 T e/ [. V

用以上两种方法分别对采集数组进行了公差为0.001mm,0.015mm和0.002mm的区间计算，所得折线公式数(区间数)如下表所示。
9 C% \# U# }. z9 G& \6 S8 K& B5 {8 Y2 H7 ~# F1 L" @/ L/ G6 ], g: q+ T# ^# |1 h6 f, s3 ~3 w* {% K. I' b* A! h( \) v

δ ) k* d" S% d7 V% d" y" G; D/ e	0.001 " W% [7 J" `; }. n	0.015	0.002 # n* I+ L& H. U$ L' O
区间数 , U. l4 x% `! H' U. s
方法 ) m7 J2 R+ b, B* @ ], X) _
分段线性插值法 ! B! M( H3 e6 A7 s0 I: z1 ?! t6 _	73	27	13
逐次分段线性插值法	75 $ E! H2 L, {' C* p" |% M6 O	29 & t2 F7 `4 i# D) {	13

0 u" Z, L) g' N- s

5 结束语

* ^' t- X* B" r* @0 |( m$ s

由上述实验数据可以看出,逐次逼近线性插值法效果同传统分段线性插值法基本相同，分段区间较少，线性化良好，其思维方式符合编程习惯，编程清晰，具有一定的实用价值。该法为非线性校正又增添了一种新的可供选择的方案。