一种新型的线性分段插值法的研究

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1 引言 ' | k: F0 V, b* G9 R/ {

) G# Z6 T! l, [1 ^

在工业生产实践中，系统误差是不可避免而又必须加以校准的。对其较典型的处理是用模型法的非线性校正，即对系统误差进行理论分析和数学处理以建立起系统误差模型，再以此模型确定校正算法和数学表达式。作者在进行系统误差非线性校正中，除采用了传统的分段线性插值法，还根据具体情况采用了作者命名为逐次逼近线性插值法进行处理。通过对两种方法结果的比较，认为逐次逼近线性插值法效果良好，具有一定的实用价值。线性化处理软件编程法分三种方法：计算法、查表法、插值法；其中，插值法又分分段线性插值法、二次插值法、分段曲线拟合法、实验曲线的自动拟合法等。下面先简介分段线性插值法。
: |5 z, H" a- z9 \1 _* L8 W+ E8 f% Y/ N* x: h9 ?2 B7 f F- I* i/ }9 }' s( A

图1

8 F/ X$ V8 _0 }% y" X- B

2 分段线性插值法

此法较为常用，基本方法就是将y=f(x)曲线分成几段直线代替曲线。如图1示。 3 G# _$ O/ O3 V: I- L

设非线性函数y=f(x)在区间[x₀,x_m]是单调的。过点(x₀,f(x₀)),(x_m,f(x_m))作直线U=F(x)=Ax+B,则在直线段区间中，其拟合误差： ) f. ^# H5 V* H; B [$ w. P4 |. [+ W1 T# `9 c; V& c+ N: j

D=	F(x)-f(x)
	f(x)

若该段最大误差点不大于允许误差时，可用直线U=F(x)拟合曲线u=f(x),否则可将区间再细分分化为两个子区间，分别作折线进行误差判断。这样按上述方法不断进行区间划分，直至各子区间m(x)均满足为止。 : F$ w$ E. ^6 Z3 J4 M( t

由于输入-输出函数的非线性，且要求各子区间的拟合最大误差满足△_max≤δ,因而各子区间长度不一。这就涉及到了区间划分问题。分段线性插值法使用优选法进行区间划分，即使用系数0.618。如图1所示，从x_m处向低值截取x_k=0.618(x_m-x₀)的一段为第二区间，(x₀,x_k)为第一区间。连接点(x_k,f(x_k)),(x_m,f(x_m)),既得区间[x_k,x_m]的拟合折线为：

F₁=A₁x+B₁ + q4 a5 X# y& z4 {4 i

A₁=(f(x_m)-f(x_k))/(x_m-x_k),B₁=f(x_m)-A₁x_1m 0 G4 s& u4 C* b& x' J5 {, } n

依次类推，可知第i个子区间的拟合折线为： * p! R4 _ b) l6 t

F_i=A_ix+B_i * Z. n, W! x' \% H4 O& F

A_i=(f(x_(i+1)m)-f(x_im))/(x_(i+1)m-x_im),B_i=f(x_im)-A_ix_im . L# c! R7 [% W5 i+ a

若f(x)为非单调曲线，则可先通过df/dx=0求出各极点，以便化为单调区，再在各单调区间应用上述方法进行拟合。
& ]( d3 R% X! M

图2 二分法分段线性插值法

9 f. p( w1 r! }" i) x# v8 ^% r

3 逐次逼近线性插值法

% E5 z3 A9 z$ k8 m6 {9 [7 O

作者在对分段线性插值法的作用中发现，该法中公式的系数取0.618,这对均匀数组来说易引起编程错觉。如在求区间段中，当m-k=2时，X=x[m]-0.618(x[m]-x[k])，则x[m]若数组个数为m+1个，则在区间(x[0],x[m])范围内，令X=x[m]-0.5(x[m]-x[0])进行第一次划分，若X=x[k]或x[k]4 方法比较 5 c2 ^% E0 R. b- Y

& j! z' |+ U% {1 [

用以上两种方法分别对采集数组进行了公差为0.001mm,0.015mm和0.002mm的区间计算，所得折线公式数(区间数)如下表所示。
- H0 ~3 O9 O: B* Z+ ^+ g$ U, j5 U, A1 O; O' S+ `3 q8 ]* {, w2 z* b

δ % m9 I+ V( x% F4 u4 I! x	0.001 " g5 v, _# v7 i* Z9 _	0.015 & Z$ L8 d6 Y- r* y3 E) O	0.002 - _# @1 S8 [2 p! \9 }3 W1 u
区间数 $ W5 V0 o- g4 v) s. ?
方法
分段线性插值法 / M+ {9 \' B" H8 A7 x	73	27	13
逐次分段线性插值法	75	29 7 Q# }5 W0 i8 G, i; f	13

# h* F) |* A7 d; ]

5 结束语

. B# Y- j$ j2 n+ k

由上述实验数据可以看出,逐次逼近线性插值法效果同传统分段线性插值法基本相同，分段区间较少，线性化良好，其思维方式符合编程习惯，编程清晰，具有一定的实用价值。该法为非线性校正又增添了一种新的可供选择的方案。