滚切正多边形工件的滚刀齿形设计

李朋

　正多边形零件是工程上常用的工件，一般工厂均采用铣削工艺加工，生产效率低，制品精度差。大批量生产时，可考虑采用滚削工艺以提高生产效率。
7 }! v  T- G4 ?6 x; n" r一、设计原理
　　按平面啮合原理求出与工件齿形相共轭的齿条齿形，将该齿条齿形作为滚刀的法向齿形。
* L+ C0 b* Q  V$ M' Q　　工件齿形为任意齿形（非渐开线齿形）时，滚刀法向齿形的通用求法可按下述步骤进行（参见图1、图2）：
, T" a3 n$ u7 Q, M: j$ r9 X
+ n' ~, R4 |; g; Y1 W* a5 p图1

图2
　　（1）建立工件坐标系xoy及刀具坐标系x0o0y0；
　　（2）确定共轭时的节圆半径rj；
; G) L# j, i8 _- T7 Z9 |8 Z　　（3）写出工件的齿形表达式y＝f（x）；
3 @9 u7 u" k- B3 ^! Y% Y- @! U　　（4）写出滚刀的法向齿形（基准齿条齿形）表达式

式中　φ＝π／2－α－δ
（3）
* `8 A% {8 B" U/ Q8 `) L　　　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj
5 o: I/ k( N/ r# c2 M  ~（4）
　　　tgδ＝dy／dx
（5）
　　图1中，xoy为工件坐标系，随工件转动。x0o0y0为刀具坐标系，随刀具平移。x1o1y1为参考坐标系，静止不动。图2中，M点为工件齿形上的任意一点，A点为M点的法线与节圆的交点，φ为M点的转角（转过φ后法线MA将通过节点P），α为变角，等于∠AOB，δ为M点的切线与x轴的夹角。
二、设计步骤
; o7 L. t$ f, z; ^: k　　1．引入各坐标系
　　各坐标系见图3所示。
; w. a" r, J8 x$ j8 p4 G
图3
　　2．确定节圆半径rj
　　节圆半径的选择十分重要，选择不当，所求共轭齿形会出现反折尖点，从而产生对工件齿形的根切或顶切；节圆半径取得过小，所求共轭齿形有一部分可能不存在。对于直边工件齿形，其最小节圆半径为
* m/ r4 E5 v$ c  e( |- B" e
（6）
式中，ra为工件外圆半径，此时即为正n边形的外接圆半径；a为形圆半径，此时即为正n边形的内切圆半径。为了计算方便，一般可将节圆取在其外圆上，故
rj＝ra
& V9 x8 {0 P6 ?% J" L# X3 F（7）
- K7 ~3 |8 i, L* r* T/ u8 E7 I　　3．写出工件齿形方程
% k* a1 z$ v* C- T- `　　图3中，CD为正n边形的一条边，E为CD的中点，EO为正n边形的内切圆半径，令EO＝a，则工件的齿形表达式为
　　4．求刀具齿形公式
　　①按式（5）得　
　　②按式（4）得　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj＝x／rj＝x／ra，即
cosα＝x／ra
" o& v& n8 w) M: K（9）
　　③按式（3）得
  e% _0 c- x' J! F4 t. u& c
（10）
% |& s, Q! N( p6 u　　将（7）、（8）、（10）式代入（1）、（2）式得

（11）
# n- N' T, l4 V) ]5 g* v: [- o* a
/ J3 x& Y% T& a. }* ?7 q: F5 x9 u（12）
　　α的变化范围是从D点到E点（见图3），故当α在D点时，据式（9）得
3 b. u9 O6 M" _4 I5 B( [cosαmin＝xD／ra＝ED／ra＝（l／2）／ra
8 |& ~" z9 F+ G2 U- y1 C- x9 `（13）
2 [6 i& B& q" A- ~/ X3 ?　　式中l为正n边形的边长。
2 Q- d0 q: ?* X0 \　　当α在E点时，据式（9）得　　
  G6 b3 K8 x/ |' F7 a) qcosαmax＝xE／ra＝0
& Y9 `1 a- r7 u7 z! I" ^' v. tαmax＝90°
% e% J4 V) a+ k/ q' i( Q　　这样，在αmin～90°范围内，选定不同的α后即可确定不同的x，代入式（1）、（2）即可得出整个滚刀的法向齿形坐标。
　　综上所述，当已知正n边形的边数n，边长l，外接圆半径ra，内切圆半径a，则正n边形滚刀的法向齿形可按以下各公式求出：
x0＝xsinα－acosα＋ra（90°－α）π／180°
: }& `* J+ Q" F7 l+ N" U（14）
( Q1 ~0 z  U" A4 ~  [% h/ D7 hy0＝ra－xcosα－asinα
（15）
cosα＝x／ra　（x＝racosα，x＝0～l／2）
（16）
αmin＝arccos（l／2ra）
- @2 S/ {  \! f; n! p（17）
) F& n3 n# o) `) |& w$ Lαmax＝90°
（18）
法向齿距Pn＝2πra／n
（19）
1 i+ i# _3 D1 S! o$ y三、滚刀计算实例
　　已知正六边形工件如图4所示。
9 }' p: t, {5 j( ^" }2 p
2 u+ d9 L0 ?3 G* H1 ?图4
　　则　ra＝20
. P* p. U( F+ s% z5 f　　a＝35．47／2＝17．735（按中间值计算）
) D% F* W" U; U% S) A+ _4 M" ?　　
　　arccosαmin＝（l／2）／ra＝62．46765222°
　　αmax＝90°
* f" {% V  p2 V. r0 a　　x＝0～9．244986479
　　将α在αmin～90°范围内求出相对应的x后代入式（14）、（15），即可得出刀具法向齿形坐标（见下表）和滚刀的齿形图（见图5）。
表
1 h; e  |1 C" {) D0 Hα
αmin
, a) e1 _  m- A6 l0 `) T1 L2 v64°
65．5°
0 ]2 g6 p1 }4 R2 |9 M7 m3 o" D…
71．5°
# V0 v& N! ?3 C$ c…
86．5°
1 m. ^$ G% z$ ]2 E6 A% x; E88°
- K, P' |/ S/ Y# c& S89°
" x1 i- I# u) N* z7 J90°
x＝（15）式
9．245
8．767
( q8 b2 N. C/ J% }3 k0 y: \1 @- D8．294
7 Q1 m; b2 G1 {* d6 h9 Y  z4 o…
6．346
…
, g- ~0 Y/ H* P/ h+ R( [1．221
3 W- s: {& O8 [* n4 u0．698
( w) H$ h5 a) M" g0．349
. o$ b5 F# a8 \( [  h# S0
x0＝（13）式
" Q- Q# O' A9 T' C: H% D& K" A9．610
5 B* |" j; Y# i9．181
% s. ^9 t  R; x# j' e  [- f8．745
…
6．848
2 I- |* q$ c) {1 H) d…
1．358
0．777
8 Y; A7 N! ]8 |, L  _0．388
0
y0＝（14）式
0
0．217
  O) c5 _7 M' m( d0．422
…
9 n8 E& O! r& |6 y3 {: j& v1．168
…
2．224
& i( a; D6 c7 h3 B* \7 g" [) [2．251
2．262
2．265
" j: r! B0 l. B! v9 \' J滚刀法向齿距Pn＝2πrj／n＝2πra／n＝2π×20／6＝20．944

图5
4 S& n& m( r  e( Q. v8 G　　图5中，x0轴以上节线为曲线齿形，x0轴以下节线取直线齿形（不参加展成切削），其近似齿形角β可按αmin及邻近α处的x0，y0坐标计算得出。本例取αmin及α＝65.5°的坐标值，则
arctgβ／Δx0／Δy0＝9.610－8.745／0.422＝64°
. |7 w5 H" r" h' g9 `3 D' e' R: h. T　　全齿深在y0、αmax基础上加上0.2～适量的间隙量（以保证滚刀齿底牙宽不至于太尖为原则），本例加0.25mm，故全齿深取2.265＋0．25＝2.515mm。
. Z/ j& Y% t. U9 F- ?& l* b　　因工艺需要，须给出代用圆弧参数，由于齿形对称于y0轴，故取代用圆弧圆心位于y0轴上，令代用圆弧半径为Ra，坐标距离为xa，ya，则根据几何关系可得弓形高EO0为

即
0 B+ i" R, |1 ?
7 B6 O5 E& v& i0 w9 O: C经整理得

& ~7 ]  x% p  X1 F# S                               
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  w" c7 o$ h" O（20）
xa＝x0αmin
1 _2 l+ G7 N% ?: m, n& V（21）
' p3 M$ y1 U3 t  ]ya＝Ra－y0αmax
) P$ X) [& y; b（22）
　　本例中y0αmax＝2．265，x0αmin＝9．610，代入式（20）和式（21），得出的相关参数为：Ra＝21．519mm，xa＝9．610，ya＝19．254。【MechNet】
: a$ U( _, x0 ~3 D' ^文章关键词： 刀齿