圆柱铣刀前刀面法曲率的计算

flydream007

1．前言
　　对于前刀面为平面的刀具，前角和其它几何角度一起可完全确定前刀面的方位；而对于前刀面为曲面的刀具，几何角度则只能确定前刀面在刀刃处的切平面，不能确定前刀面的形状。前刀面的形状，特别是刀刃处前刀面的弯曲情况对卷屑、断屑和排屑影响甚大，是刀具的一个重要性能指标。文献［1］研究了如何精确磨出圆柱形螺旋刃铣刀的法向前角。本文将在此基础上，进一步对已经保证了法向前角的前刀面进行研究，求出它在刀刃处的法曲率，特别是与刀刃垂直方向的法曲率，从而了解刀刃处前刀面的弯曲状况，为制造性能优良的铣刀提供理论依据。
) j; w1 [5 q) Y8 u' ^4 ?; z　　2．前刀面描述
　　图1为用砂轮外圆磨削圆柱铣刀前刀面的情况，磨削原理及各符号的意义已在文献［1］中作了说明。前刀面方程为［1］

7 t- f6 l8 T, f; u- a2 x% F" w7 i# h其中θ和 参数曲线方向的切矢 和 为

5 P9 s% p9 B* t6 ]图1　砂轮与刀具的相对位置
& r8 n3 j& B3 w　　这是一般性切矢方程，对于图1中的M点则有
, V# r7 ~7 R- R5 |
: M  W8 R1 a: }) E' `M点两条参数曲线方向的单位切矢仍用rθ和rφ表示，它们为　　

（5）式中，P为前刀面的螺旋参数， 为M点与xoz平面的夹角　　
: ^; d0 n9 q" ?# W& o, `5 c
　　M点的单位法矢n（正向由前刀面指向容屑槽）为
- {7 d* |5 @$ K. f, L8 y5 U
* S1 ~7 X; o8 B. k. Z- a　　3．方向的法曲率Kφ
* e) C$ M3 I) C. n　　由图1，砂轮端面与前刀面（1）的交线是半径为Rc的圆，它在M点的曲率为 。由于是平面曲线，该点单位主法矢βc 为（图1）
2 D8 _0 Y' w. v* X+ i/ A
/ ^: Y; d: @7 v' D2 y( y  i! j, \ 与 之间的夹角θ1为
# E# a( Z: Z( N! T0 G1 K& k, ^　　cosθ1＝.＝nxsinφcosβw－nysinφsinβw＋nzcosφ              （10）
由默尼埃定理［2］可得法曲率

　　4． 方向的法曲率Kθ和短程挠率Gθ
　　由于前刀面为圆柱螺旋面，θ参数曲线就是半径r＝d／2的圆柱面上的螺旋线。圆柱螺旋线上任一点的曲率k和挠率τ为常数，它们为（参见［2］P41的例2）　　

　　螺旋线上任一点的主法矢与螺旋线轴线垂直相交（参见［3］P59的习题3），所以M点的单位主法矢 为
＝o，－sin               （14）
) z6 |4 I* K4 E7 d与前刀面法矢n之间的夹角θ2为
cosθ2＝.              （15）
所以，方向的法曲率Kθ为

& j" u9 ]0 s7 C　　圆柱螺旋面上沿一条螺旋线（θ参数曲线）上任一点的螺旋面法矢与螺旋面轴线（x轴）的夹角也是固定的，所以该螺旋线的主法矢与相应点的螺旋面法矢的交角也是固定的。由此可得（参见［2］P237的定理3）

! [( h2 e* Z, l4 ^0 w- @  p9 J　　5．M点的法曲率及前刀面法向截形曲率半径ρM
5 y* e+ i# ~+ F$ a　　图2为M点切平面内的情况。作的垂直方向 ，它也是M点处刀刃的法截线方向，该方向的法曲率用KN表示，则该方向的短程挠率为－Gθ。

图2　M点的切平面
　　与 之间的
夹角Δ为
cosΔ＝rθ.rφ              （18）
方向的法曲率和短程挠率满足
; I. W2 l9 U6 p8 D" b  a; `　　Kφ＝Kθcos2Δ＋2GθsinΔcosΔ＋KNsin2Δ
所以
- M8 A/ W( Z3 O8 o, c$ y　　KN＝（Kφ－Kθcos2Δ－2GθsinΔcosΔ）／sin2Δ              （19）
, ?+ K6 o+ c& U% X2 I由此即得M点法向截形的曲率半径ρM为
3 A- d4 D0 q( F9 H
! J1 F/ |* N( X% p" F, k求得KN之后，即可求得任一方向rα（图2）的法曲率Kα和短程挠率Gα为
　　Kθ＝Kθcos2α＋2Gθsinαcosα＋KNsin2α              （21）
; S+ v" e$ n# T" C: t4 e/ l% p; B　　Gα＝（KN－Kθ）sinαcosα＋Gθ（cos2α－sin2α）              （22）
, ^6 [/ P& b7 X4 y2 O　　到此，M点的法曲率问题已完全解决。在实际切削中，流屑方向一般不在rN方向，按（21）式即可求出流屑方向的法曲率，进而可研究流屑剖面（不一定是法截面）内前刀面的弯曲状况。
, t: f* ]& F' R8 O4 D　　6．算例与说明
" Y& _5 c' v- A3 {3 ?! p( o　　以立铣刀为例，铣刀直径d＝50mm，螺旋角β＝45°，法向前角γn＝15°，磨削深度h＝10mm，所用砂轮半径Rc＝35mm，砂轮轴线与刀具轴线之间的夹角βw＋90°＝136．5°，磨削中心距H＝48．874mm，磨削偏距E＝－8．338。求得Kθ＝0．005176379，Gθ＝0．02，Kφ＝0．00250113，Δ＝120．7778326°，ρM＝39．4074mm。
　　对于一定的切削条件以及特定的卷屑、断屑和排屑要求，存在一个理想的前刀面弯曲状况，一般设计刀具时可以用ρM来表征。当按给定的磨削工艺参数计算出的ρM不能满足要求时，可以改变一些可调参数，例如重新计算Rc和βw。
# ?. }  m1 m: I$ {文章关键词： 圆柱铣刀