圆柱铣刀前刀面法曲率的计算

flydream007

1．前言
　　对于前刀面为平面的刀具，前角和其它几何角度一起可完全确定前刀面的方位；而对于前刀面为曲面的刀具，几何角度则只能确定前刀面在刀刃处的切平面，不能确定前刀面的形状。前刀面的形状，特别是刀刃处前刀面的弯曲情况对卷屑、断屑和排屑影响甚大，是刀具的一个重要性能指标。文献［1］研究了如何精确磨出圆柱形螺旋刃铣刀的法向前角。本文将在此基础上，进一步对已经保证了法向前角的前刀面进行研究，求出它在刀刃处的法曲率，特别是与刀刃垂直方向的法曲率，从而了解刀刃处前刀面的弯曲状况，为制造性能优良的铣刀提供理论依据。
　　2．前刀面描述
　　图1为用砂轮外圆磨削圆柱铣刀前刀面的情况，磨削原理及各符号的意义已在文献［1］中作了说明。前刀面方程为［1］
% s/ T. s4 \1 b+ W$ L1 V
. C, _0 T1 W1 A6 |- D其中θ和 参数曲线方向的切矢 和 为

% T: c: I* }" u图1　砂轮与刀具的相对位置
　　这是一般性切矢方程，对于图1中的M点则有
! D# k5 ?9 K& t# v- Z
M点两条参数曲线方向的单位切矢仍用rθ和rφ表示，它们为　　
$ j) i4 A2 i! G$ y) ?6 Q
) J2 B- r5 B# C3 e: E（5）式中，P为前刀面的螺旋参数， 为M点与xoz平面的夹角　　
$ c( \2 F" m* N6 S
4 O+ R6 h; z" ?# h+ M+ b　　M点的单位法矢n（正向由前刀面指向容屑槽）为
8 ?5 V0 X& b1 F! z" {  H
' l) I& p# {+ V" [. r! a/ G7 B0 q　　3．方向的法曲率Kφ
6 j/ X; U9 s. g* P　　由图1，砂轮端面与前刀面（1）的交线是半径为Rc的圆，它在M点的曲率为 。由于是平面曲线，该点单位主法矢βc 为（图1）
; [' M! w2 U& c3 X
与 之间的夹角θ1为
　　cosθ1＝.＝nxsinφcosβw－nysinφsinβw＋nzcosφ              （10）
由默尼埃定理［2］可得法曲率
: d) I  `7 K3 R) t- B. c
- a( b$ i) K# v  }, C. F; V　　4． 方向的法曲率Kθ和短程挠率Gθ
2 c& O5 V% t& Q- \9 D7 s　　由于前刀面为圆柱螺旋面，θ参数曲线就是半径r＝d／2的圆柱面上的螺旋线。圆柱螺旋线上任一点的曲率k和挠率τ为常数，它们为（参见［2］P41的例2）　　
9 i& {, M9 R: }
" V0 F' i7 h6 s& E+ L　　螺旋线上任一点的主法矢与螺旋线轴线垂直相交（参见［3］P59的习题3），所以M点的单位主法矢 为
; k# ?8 K, N6 ^0 i3 Y5 m＝o，－sin               （14）
9 M% @5 x/ V1 D' ~1 O! E0 \& J与前刀面法矢n之间的夹角θ2为
cosθ2＝.              （15）
所以，方向的法曲率Kθ为
) l+ R% C- _0 Y4 V* o( g# L
+ ]6 u, r( H/ R% j% {　　圆柱螺旋面上沿一条螺旋线（θ参数曲线）上任一点的螺旋面法矢与螺旋面轴线（x轴）的夹角也是固定的，所以该螺旋线的主法矢与相应点的螺旋面法矢的交角也是固定的。由此可得（参见［2］P237的定理3）
3 C) x5 ]1 f- e# O( B7 R
　　5．M点的法曲率及前刀面法向截形曲率半径ρM
' l1 w' _0 F, {- T# ^　　图2为M点切平面内的情况。作的垂直方向 ，它也是M点处刀刃的法截线方向，该方向的法曲率用KN表示，则该方向的短程挠率为－Gθ。

' S& t3 N( T# l6 l  p) C2 s- o图2　M点的切平面
　　与 之间的
- n/ W9 Q) Z+ |/ {4 r- W% U4 j夹角Δ为
cosΔ＝rθ.rφ              （18）
0 M# V+ Q) F) Z0 Z 方向的法曲率和短程挠率满足
9 Q: Y% H+ [$ S$ M# |　　Kφ＝Kθcos2Δ＋2GθsinΔcosΔ＋KNsin2Δ
1 K3 f$ }) a  ^: D所以
. _( I$ D4 G. {　　KN＝（Kφ－Kθcos2Δ－2GθsinΔcosΔ）／sin2Δ              （19）
% x' @: V, |: Q2 P由此即得M点法向截形的曲率半径ρM为

- e+ \" T" U& y求得KN之后，即可求得任一方向rα（图2）的法曲率Kα和短程挠率Gα为
' h3 o9 t% J2 t" N7 @　　Kθ＝Kθcos2α＋2Gθsinαcosα＋KNsin2α              （21）
+ C- C& {8 \% S　　Gα＝（KN－Kθ）sinαcosα＋Gθ（cos2α－sin2α）              （22）
　　到此，M点的法曲率问题已完全解决。在实际切削中，流屑方向一般不在rN方向，按（21）式即可求出流屑方向的法曲率，进而可研究流屑剖面（不一定是法截面）内前刀面的弯曲状况。
) W8 S- Y( n! @: a　　6．算例与说明
　　以立铣刀为例，铣刀直径d＝50mm，螺旋角β＝45°，法向前角γn＝15°，磨削深度h＝10mm，所用砂轮半径Rc＝35mm，砂轮轴线与刀具轴线之间的夹角βw＋90°＝136．5°，磨削中心距H＝48．874mm，磨削偏距E＝－8．338。求得Kθ＝0．005176379，Gθ＝0．02，Kφ＝0．00250113，Δ＝120．7778326°，ρM＝39．4074mm。
: W8 n0 `# i  g　　对于一定的切削条件以及特定的卷屑、断屑和排屑要求，存在一个理想的前刀面弯曲状况，一般设计刀具时可以用ρM来表征。当按给定的磨削工艺参数计算出的ρM不能满足要求时，可以改变一些可调参数，例如重新计算Rc和βw。
文章关键词： 圆柱铣刀