基于三坐标测量机的四次EB样条曲线曲面的应用

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在复杂机械零件（如弧面分度凸轮）、模具等带有复杂三维空间曲面零件制造、测量及CAD的造型中，常常需要对三维空间曲面进行描述与控制，从而在计算机屏幕上生成图形或满足NC加工的需要、或将测量的数据拟合成样条曲面（曲线）以满足误差评定的需要。本文讨论的四次EB样条曲线曲面通过引入几何意义十分明显的可调参数，大大提高了曲线曲面的拟合程度。

1　四次EB样条

1 }3 X/ I! i5 l) Z

1.1　四次EB样条曲线
　　四次EB样条曲线P_i(t)是由基本曲线G_i(t)经调配曲线F_i(t)调配而成的。即

P_i（t）=G_i（t）+kF_i（t）
(0≤t≤1;i=1,2…，n-3) (1)

　　引入k值可以通过改变它对曲线的形状进行调整，使其与特征多边形的差异可大可小。当k=0时，P_i（t）=G_i（t），四次EB样条曲线就是基本曲线，成为特征顶点的插值曲线。基本曲线段的起始点和终止点通过相应的特征多边形顶点r_i+1,r_i+2;如果按某种方式拓宽两个控制顶点r₀和r_n+1,则可使曲线｛G_i（t）｝通过所有的给定顶点r₁,r₂，…，r_n。如果这n个给定点是某条曲线上的型值点，则曲线就是这n个型值点的插值曲线^［1］。
　　四次EB样条曲线的矢值方程式为

$ U9 b9 s7 g8 F7 n

) B" F& o3 ^* {8 L; e+ ?% d* g) d

1.2　四次EB样条曲面
　　四次EB样条曲面可以看作是U、V两个方向EB样条曲线的直积。给定m×n个空间位置向量r_i,j(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)构造曲面，其矢值方程式为

8 M$ {: G% c7 U1 ]- o* V

1.3　四次EB样条的特性^［2］
　　（1）由于在EB样条方程中引入了一个几何意义比较明显的参量K，使设计者能直观地对样条曲线（曲面）的形状进行调整，从而使特征多边形的差异可大可小。
　　（2）四次EB样条可应用给定的一些特殊的特征顶点来生成含有直线和尖点的曲线。
　　（3）四次EB样条曲线段端点处的切矢仅与基本曲线段有关，而与调配曲线段无关。
　　（4）用四次EB样条曲线（曲面）作插值曲线（曲面）时，其设计方法和计算方法均不变，仅需将参量K取为零，这对计算程序的编制极为有用。
　　(5)当K=1/6时，四次EB样条曲线（曲面）又成了B样条曲线（曲面）。由此可见，四次EB样条曲线（曲面）是B样条曲线（曲面）的拓广。

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2　测量数据拟合曲面的误差评定

　　在评定三坐标测量机的拟合曲面与实测数据间的误差时，需计算空间实测点到拟合曲面的距离。本文运用了一种快速迭代收敛算法^［3，4］求空间任一点到拟合曲面的距离。
　　设P（x，y，z）为曲面外空间一点，求P点到参数曲面∑s（u，w）的距离。其中Q_i（u_i,w_i）为曲面上任意一点，作为P点在曲面上的映射点，是迭代初始点。Q_i+1（u_i+1,w_i+1）为P点在曲面上的垂足。∑s(u,w)为Q_i点的切平面，S为PQ_i+1在切平面上的交点。当Q_i与Q_i+1重合时,PQ_i+1为所求点到曲面的距离。Q^u_i,Q^w_i为Q_i在u,w方向上的两个切向量。因此有

) D/ P2 W7 J! c6 D5 J$ S3 D4 A

% @2 x7 I' s, M

　　若PQ_i+1为点到曲面的距离，则必然S与Q_i+1重合，S亦为该点在曲面上的垂足。根据微分几何点到平面的距离为最小距离的条件得

% U0 y9 [9 n+ A/ [' C

+ l6 v: U6 A9 }# Q+ m5 @. z

　　搜索方法是，求出（11）式中的Δu,Δw。当（Δu、Δw）＞ε时（ε是任意给定小的正数），用Q_i+1代替Q_i进行下一轮计算。当（Δu、Δw）＜ε时迭代停止，此时

PQ_i+1=P-Q_i+1=P-Q_i=P-S=d

由于规定曲面法矢指向实体之外，所以P在实体之外时d＞0,P在实体之内时d＜0。

; t, M+ s, i* O, l* r* y5 V C: w

3　应用实例

　　弧面分度凸轮机构（见图2）由于结构紧凑,传递扭矩大，特别适用于高速、高精度分度。因其分度运动曲线，可设计成适于各种工作场合的最优运动曲线，从而在运动平稳性、降噪、延长机构使用寿命等方面都具有良好性能。图3是由四次EB样条生成的弧面分度凸轮张量积曲面的轮廓面光照图，其形状为一空间螺旋带。

& ]( i, A7 T0 @" q5 Q; `) } W

　　在秦川机床厂和庆安公司的协助下，分别用LK及UKM三坐标测量机，以径向、旋向两种方法对弧面分度凸轮的样件进行了测量。根据以上的测量和误差评定方法，用Visual C++开发了弧面分度凸轮的误差评定软件。取样件设计参数见附表。图4所示为样件在R=57mm的螺旋线上的误差曲线图。该零件设计要求：曲线误差±0.05mm，轮廓度公差带为0.1mm的双向等距配置。对该零件的评定结果为：凸轮半径57mm的螺旋线轮廓度误差0.147mm，面轮廓度误差0.165mm。

测量样件设计参数表

0 q! i0 O0 R7 N* T5 H/ A9 M% v+ L 4 y4 q" l% O) p; [6 W1 G; X) I4 _. w& _( p3 H1 ~; p1 A; a+ E1 i6 N R0 p% D( O, l2 u' K6 t! R0 J' y9 v! G6 p/ w. d( {* l9 L6 _3 e3 Z! a3 L# p) e6 ?8 b5 q; L9 |/ l0 {! ~. M+ O7 k" P9 D+ E4 Z/ Q5 k2 u o) h& r6 G0 [% o ^' L4 i G/ d! A0 O# c: w6 }7 N8 r6 C7 x* w7 D1 w2 z5 Z: Y0 i' E# ]1 Z0 {$ u; [" s# B) E' `& w% [/ A$ ]4 T' k& x/ x; j" `9 H( G. y% m- X; h3 W' _0 r+ N- `( O( s; b& J; X" ?2 t+ w3 a" N$ o

旋向	曲线类型	转位角	停歇角	分度角	中心距	分度盘回转半径	滚子高度	滚子直径
右旋	变形正弦	120°	240°	45°	108±0.012mm	49.2mm	19mm	?25-0.005mm

图4　旋向扫描螺旋线误差曲线