提高三点法测量精度的研究

HEATS

高等学校博士学科点专项科研基金资助课题为提高三点法^［1］的测量精度，前人倾注了巨大精力，但其研究大都限于仅从数学上考虑了如何避免三点法的谐波加权函数ω(k)=1+a₂e^-jkφ₂+a₃e^-jkφ₃造成的谐波抑制^［2～4］，而忽视了测量误差对测量精度的影响.文献［5］虽然注意到上述问题，但未能透彻分析测头读数及定位误差与圆度测量误差的关系.作者重点分析测头读数及定位误差对圆度测量精度的影响，研究系统的优化方法及谐波测量误差的传播规律，以进一步提高三点法测量精度.

1　三点法测量原理及精度分析

1.1　三点法测量原理

' N* `9 e2 @5 c1 O1 i

图1　三点法原理

三点法测量原理如图1所示.在工作圆周上布置3个测头P_i，它们与y轴的夹角为φ_i(φ₁=0)，工作圆度为r(θ_n)，轴系径向运动误差的x，y向分量为x(θ_n)，y(θ_n)，各测头的输出为

其中　R_i为测头P_i的零起读数； θ_n为采样点，θ_n=2nπ/N，n=0,1,…，N-1.构造线性方程

/ ?0 P3 m' q2 z5 A; f3 V

记　

6 P+ p l: W- I* y6 G+ v0 l) b

设s₀(θ_n)的Fourier系数为F_k和G_k，为分离x(θ_n)，y(θ_n)与r(θ_n)，使α₁=β₁=0，由此确定a₂，a₃.经适当变换，得圆度各次谐波的Fourier系数为

' v# x. f% C7 p1 ?- l' v

+ e/ L5 f' E' K" Z$ j2 V

由此得到工件圆度

' Y5 p2 r0 m' r

$ C6 e3 U4 Q' r- g' O

其中　K_m为谐波最高级次.由方程(1)可求得轴系径向运动误差.
1.2　三点法测量系统精度分析
　　影响测圆精度的主要误差有： ① 三个测头读数误差δ_1n,δ_2n,δ_3n，它影响F_k,G_k； ② 测头角位置误差δ(φ₂)，δ(φ₃)，它影响α_k,β_k.由式(4)得

0 i. T6 q" F6 }) A

! o* v9 @& f7 z- B4 @

1.2.1　测头读数误差对测量精度的影响
　　此时忽略测头角位置误差的影响，则

　　设3个测头读数误差的方差均为σ²，由随机变量均值与方差的关系^［6］，A_k，B_k的方差为

) b/ t' n% S. k+ t! \

　　由测头读数误差引入的圆周第p点的圆度测量误差为

1 r. ?; ]1 N+ A0 G8 S$ Q# x

- i0 Y, K8 \9 a/ q( }

其中　.
则

1.2.2　测头角位置误差对测量精度的影响
　　此时，若忽略读数误差的影响，则

7 P& y, D. V. h/ E+ z Y1 }/ n

　　由得第k次谐波的幅值相对误差为

　　由tanφ_k=A_k/B_k得第k次谐波的相位误差

* ]) b6 U. R# @7 [

　　设,q_k是表示测头读数及角位置误差对圆度及其各次谐波测量精度影响大小的重要指标.显然，为降低测头读数误差及测头角位置误差对测量结果的影响，应使q_k尽量小.计算机仿真表明：圆度测量误差主要由测头读数误差引起，角位置误差影响较小，当测头角位置的测量精度高于1′时，测头位置误差所引入的测量误差可以忽略.

2　三点法测量系统参数的优化

　　优化的目的是选择一组最佳的测头角位置，使测头读数及角位置误差对圆度各次谐波测量精度的影响为最小.优化过程为一个多目标函数的优化决策问题.为降低测头读数误差及测头角位置误差对测圆精度的影响，对于给定的级次K_m，求φ₂，φ₃，使所有各次谐波的q_k中的最大值为最小.
　　以q_k构成的目标函数特性复杂，有许多局部极小值，常用的单峰函数寻优方法无法得到全局最优值，而采用枚举法^［5，7］搜索耗时很长.为此，作者基于Monte Carlo随机试验思想，并参考单纯形模式寻优方法^［7］，编制了随机模式搜索方法的算法程序.其方法如下：
　　① 在由φ_imin＜φ_i＜φ_imax所决定的平面内产生一个随机试验点φ⁽⁰⁾；
　　② 以初始点φ⁽⁰⁾为中心，以A₁和A₂为半径作一空心圆域，在这空心圆域中按均匀分布产生随机变量搜索5～10次，若不成功，则反向搜索一次，求出新点φ⁽¹⁾，使f(φ⁽¹⁾)＜f(φ⁽⁰⁾)；
　　③ 进行一次模式寻优，令φ=2φ⁽¹⁾-φ⁽⁰⁾，若f(φ)＜f(φ⁽¹⁾),表示模式寻优成功，转向步骤②，以新点为中心，继续寻找更好的点；
　　④ 若f(φ)＞f(φ⁽¹⁾)，表示模式寻优失败，将φ向φ⁽¹⁾收缩，直到f(φ)＜f(φ⁽¹⁾)为止，重复步骤②；
　　⑤ 返回①，重复上述试验2000～5000次，比较各次试验结果，选取最佳结果，以确保得到全局最优点.
　　上述方法的可靠性及算法误差可通过两种途径考察： ① 取寻优结果的相对偏差小于10^-31为截止判据； ② 优于文献［5］中的结果.图2给出了K_m为20和160时的最佳角度及最佳角度下的q_k，由此可看出三点法各次谐波测量误差的传播规律.作者计算出的最佳角度下的q_k值，不仅明显优于按传统方法确定的最佳角度下的q_k(见图2b与图2d)，而且明显优于文献［5］(见图2a与图2c).试验表明，随着所取K_m的增大，对应的各次谐波的q_k变大.使用某K_m下确定的系统测量大于此谐波上限的谐波时，由于误差传递系数很大，较小的读数误差就会使圆度测量结果产生较大失真.因此正确估计待测件谐波上限并以此确定测头的最佳角位置至关重要.

(a)优化方法结果

( o/ a+ r: y* w1 j# z1 U1 E

(b)优化方法结果

7 a+ E. m: E8 v% k. u+ e

7 Y& z# P( G0 f( d3 V5 v7 t

(c)优化方法结果

9 n& G& l7 D9 U/ M; N ^- A! O3 t

! U, L0 m+ \3 H& m& y

(d)传统方法结果

图2　三点法测头最佳角位置及圆度各次谐波测量误差传递系统

% Z8 X, N( z) u+ b/ e: T! P

3　测头角位置测量误差及测头灵敏度不一致的校正

　　实际测量中，考虑到： ① 测头角位置存在测量误差Δφ₂，Δφ₃； ② 3个测头的灵敏度不一致，设它们的比值为1∶p₂∶p₃.则圆度与轴系误差分离的基本条件应为

显然，由α₁=β₁=0得出的a₂，a₃无法保证上式成立.这导致： ① 圆度与轴系误差不能彻底分离，残留的轴系运动误差计入到圆度中； ② 计算得出的圆度各次Fourier系数被虚假地放大，造成较大的测量误差.
　　当满足误差分离的基本条件时，α₁=β₁=0，此时，S₀(θ_n)的一次谐波幅值C²₁=F²₁+G²₁=0.当φ₂，φ₃有误差时，｜C₁｜＞0.据此可以对φ₂，φ₃的直接测量值进行优化以确定其真值.方法是：当φ₂，φ₃变化时，a₂，a₃随之变化，C₁的值也随之变化，如果｜C₁｜变小，则说明φ₂，φ₃趋近于其真值.即：求φ₂，φ₃，φ₂min≤φ₂≤φ₂max,φ3min≤φ₃≤φ3max，使｜C₁(φ₂，φ₃)｜最小.其中，φ_imin，φ_imax由直接测量误差限确定.采用直接搜索的方法，即可求得φ₂，φ₃的真值.
　　实验表明：通过优化，可以使｜C₁｜的数值明显减小，有效地提高了φ₂，φ₃的测量精度.表1给出了5次不同测量列S₀(θ_n)的优化结果，显然，优化结果具有较好的重复性精度.

表1　测头角间距φ₂，φ₃的优化结果

9 \7 k6 v1 y8 N! g, P* R3 g/ u1 w5 E/ g2 D# I+ y' P( [3 o4 d+ V- O/ a( b& u6 ]9 @- x) E/ G/ X1 H1 c* |) K, E C6 N1 [0 C* c4 \4 T) z, |6 r' h$ l: d( y$ f- p% B# ?8 x. _% t) y8 d7 ?4 K+ ~ d6 a/ F3 K# S; S: j* y6 b! R3 \2 T- D4 T( Z: o. ~2 B- ~9 s9 ?. L s4 n8 c; |. W ~* K2 H& D4 E3 L# g* d- K/ A3 [; I" _& m( r* E" v2 |, O% Y' g5 K! }! e# n- v- A+ D- l, t& R# e3 e( w+ d; b# O# E% I, ]+ H3 ^) @. d8 T- ~9 z' n5 o& V5 T$ t3 {% N% W

初始值	测量值	优化值					平均值	方差
		1	2	3	4	5
φ2/(°)	112.45	112.49	112.45	112.47	112.49	112.47	112.48	0.014
φ3/(°)	230.23	229.91	229.89	229.90	229.86	229.88	229.89	0.018
｜C1｜/10-6	3521	891	957	1264	1018	984

4　实验结果及分析 9 `2 a$ P2 b# M/ m2 p. | d 　　分别采用某文献推荐的φ2=84.24°，φ3=168.78°及本文中取Km=160时优化出的角度安置测头，对一个直径为110mm的标准件进行测量，并与Talyrond圆度仪测得结果相比较，见表2. # p8 w) d [9 U% l. V0 e' ] 表2　测量结果比较

0 B% j2 |* b" U- F' n9 Z0 u3 X 5 |; l# n4 Z% x5 J6 n4 d: ^! \- E- J3 E+ R) s" b; ^5 F5 C% j+ l. } h) Y$ Q, s) ?0 y: J% {! @$ |; b7 ^) k# p; ^% [' M! ^ _7 {/ ~; | r: B, o. W# y) p3 X( ` O+ {. j( k: m$ q( C7 R+ O. u' t5 T8 D: p1 \2 t6 [: P/ I% p' B3 N1 b" w+ [, ~$ _6 L; \1 X. T0 E! r6 d4 k5 W* ]8 s( L1 z- b9 x& w2 d/ [( |% ]8 [' N8 T5 z$ \& w6 l( j( A2 ?4 g. t# F# l0 A

方　法	圆　　　度				谐波误差		圆周各点测量误差
	均值/μm	改善程度/%	σ/μm	改善程度/%	最大值/μm	改善程度/%	最大值/μm	改善程度/%
圆度仪	1.253		0.050
传统三点法	1.292		0.035		0.072		0.250
优化三点法	1.282	26	0.026	26	0.024	67	0.160	36

( s$ S, @, |+ ^8 Q

& l. `2 d( o& ?

结果表明： 　　① 传统三点法因某些级次的误差传递系数qk较大，读数误差被大大放大，从而使测量结果中有明显的高次谐波误差(见图2d与图3a). 　　② 传统三点法测得圆度以及各次谐波值的离散程度较大，单圈测量值与圆度仪测得值相差较大，必须取多圈平均才能求得较精确的结果. 　　③ 优化三点法圆度以及各次谐波值的测量不确定性明显降低，尤其高次谐波测量误差明显降低(见图3b).

(a)传统三点法结果

4 e5 `5 q, f* Z1 e( N! O8 }

6 q6 K" I0 ?) I

(b)优化三点法测量结果

图3　圆度和各次谐波幅值测量误差