振动钻削中的振幅损失与补偿研究

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: \9 K2 L0 e9 @3 \/ g

振动钻削是通过给钻削加工系统施加某种有规律的振动(振幅A，频率p)，通过周期性地实现刀具与工件的接触和分离，从而在圆周上形成切屑的薄弱环节，人为控制切屑的形成与折断过程。只要振动参数(振幅A，频率p)匹配合适，无论加工何种材料，选择何种切削角度，都能可靠地实现断屑和自主控制切屑尺寸。但加工经验证明：在振动加工的凸轮－刀具－工件系统中，由凸轮机构预设的振幅值，经钻杆传到钻头进行加工时，尽管振动频率保持不变，但是会产生显著的振幅损失。由于振幅值对切屑的折断以及控制切屑尺寸都有很重要的影响，所以振幅损失给人为控制振动钻削加工过程带来极大的障碍。因此，了解振动钻削加工过程中的振幅损失因素、估算损失量并采取相应措施进行预防或补偿，是振动钻削可靠断屑和稳定排屑的基础。

1 振动钻削中振幅损失因素分析

图1所示是振动钻削加工原理简图。凸轮在外部电机的带动下高速旋转，迫使钻杆作一定振幅和频率的简谐振动，对工件进行振动加工。在该系统中，影响振幅损失的因素主要有：(1)凸轮高速旋转时，从动件(即钻杆)的惯性力较大，整个机构会发生弹性变形，使得钻杆工作端的实际位移与凸轮轮廓所预定的名义位移存在一定的差距；(2)对深小孔进行振动钻削时，由于振动刀杆的刚性较差，使钻杆受压后产生弯曲变形；(3)对工件来说，由于受到周期性的强烈冲击，它将产生振动响应，即出现一定振幅的振动，该振动在与激振力存在相位差时，会使部分振幅损失。上述三种因素所引起的振幅损失并不能进行简单的叠加，由于振动的存在，使得振幅损失值也以一定的周期出现，而各因素所引起的振幅损失量之间存在相位差，使振幅损失量在整体上表现为加强或减弱。因此，若分别计算三种振幅损失量，则很难确切了解整个系统振幅损失值。本文将建立一个涵盖三种振幅损失因素的数学模型。
  . o- {- V% G( U, ]5 r" U( |4 w& a" X2 B, ~7 {( y: O) Z" N" T5 y6 ~2 }# a

1.凸轮 2.刀具 3.工件 图1 振动钻削原理图

c:钻杆阻尼　cf:工件阻尼　k:钻杆刚度　kf:工件刚度　m:系统的当量质量 图2 振动钻削系统的物理模型

2 模型的建立与求解

# p. E; x( H! |" z! q- d

建立一个既能反映实际系统的动力学特性，又能科学地运用数学工具分析的模型，是振幅损失分析的关键。在振动钻削中，凸轮推程段是振幅损失的主要部分，这时钻头压在工件上对工件进行钻削加工。建立数学模型时把处于该状态的凸轮—刀具—工件系统作为一个统一体进行分析。设凸轮—刀具—工件系统的工作端的动态位移为y，由凸轮轮廓和系统几何尺寸所确定的工作端的当量位移即静态位移为y_c(y_c=Acoswt)，则工作端的动态位移偏差即振幅损失量为y_c-y。根据实际情况把切削系统结构进行简化，由此建立的振动钻削系统的单自由度动力学模型见图2。

根据图2所示的物理模型，由牛顿定律得 + ~ S4 ` \+ F4 O) q4 q5 M6 S6 B4 L( g( n* p

(1)

变换后得 8 @- ]& f, {3 d1 N. l/ u

(2)

: b& D0 h' P" }6 \( ^: r' Z* l

令k+k_f=K,c+c_f=C,并将y_c=Acoswt代入式(2)得 2 ^' ] D! X& |5 ~& i2 S: A: O3 M, t4 K+ B9 b- ?: f6 ~. u0 W6 J2 M

(3)

由微分方程的理论可知，式(3)的解由齐次方程的通解y_a(t)和非齐次方程的特解y_b(t)组成，即 ! Q9 r) {' k" l* V, }6 a9 a: m; _; Q' `

y(t)=ya(t)+yb(t)

(4)

& Z& M0 {2 O; N3 v. E

其中通解y_a(t)是与系统自由振动对应的瞬态振动响应，在阻尼的作用下，该振动响应将被衰减。这里将对应的响应值忽略。特解y_b(t)是分量Akcoswt和Awcsinwt的响应总和。设y₁是与余弦分量Akcoswt相对应的动态响应分量，y₂是与正弦分量Awcsinwt相对应的动态响应分量，则系统的总响应为 ' f4 y% H% k0 D3 \& i

y(t)=y1+y2

(5)

4 V& c! J6 G; B0 G6 t |% f. Q3 N

1. 余弦分量响应计算
   由式(3)得余弦分量激振的微分方程式为 3 O! U; `/ _) L/ N- U2 X, |/ K# a" S. l5 Y5 M5 G0 D, E4 L3 r( a+ `& b% g7 D

   (6)

   设式(6)的解为 . t( S5 T! l5 Y7 m/ w% f( ]

   y1=Dcoswt+Esinwt

   (7)

   对式(7)求解得 2 g6 S1 X4 y5 B" O( |7 G, n# P2 d) C2 O1 R7 V: V* _% a4 {8 U R- J" ^

   (8)

   3 _- T' R% ?0 [5 `4 Y( O
   将式(8)代入式(7)并把解中的两项合成余弦得 # z" s- s- j# S `7 @# V- N6 y G: P- C; j6 }8 l: [! S, M. t: j' x% B2 _

   (9)

   其中 . J1 M0 d% T! [% u" }8 i- C. j8 K. A4 P6 n' P' F$ Q* |5 U0 L3 k7 J5 A

   (10)

2. 正弦分量响应计算 , E9 u7 ]( X- y+ c$ e" L; p
   由式(3)得正弦分量激振的微分方程式为 1 N* C& h9 N1 I" k1 v5 c( J( U; s5 ^+ X \2 y: u& ]. k4 }& u6 A& ^8 L& H# n0 V& D b6 s2 @) ^! u3 B

   (11)

   按上述相同的方法可以求得 ! S3 A$ B& t" G$ Y! o2 b' D- C; ]3 v+ N2 F4 K

   (12)

3. 总响应计算
   由上述计算，将式(9)和式(12)代入式(5)得 $ N+ E$ A$ T4 r& d1 S8 X( I4 S

   (13)

3 算例与试验

0 g4 d0 O) y& u: a% B

1. 数值算例
   应用上述数学模型和解析计算结果，现以A=0.06mm，m=7kg,w=10rad/s，并分别取：

   1. K=500N/mm,　k=80N/mm,　C=0.03N.s/mm,c=0.01N·s/mm 0 k' p" A9 c6 }# C
   2. K=300N/mm,k=50N/mm,C=0.03N·s/mm,c=0.01N·s/mm

   * h# @- d2 w' z$ ?! o5 e
   两种情况进行振幅损失计算，计算结果利用计算机生成的关系曲线分别见图3a、b。根据计算和关系曲线可以获得几个结论：
    

   图3 振幅理论值与真实值比较

   , i# D0 n9 Y f U2 J

   4 w. ^, N+ f3 p0 G7 S# g
   1. 解析计算结果与实际的加工情形是相符合的，即振动钻削系统的频率保持不变，但整个系统出现显著的振幅损失。 I2 q& q2 @7 Z0 ~9 Q
   2. 振幅的损失量与振动钻削系统的刚度和阻尼有密切关系：在保持阻尼不变的情况下，系统刚度值减小，则振幅损失增大；同样在保持刚度为常数的情况下，系统阻尼增大，则振幅损失也将增大；阻尼和刚度两者中，刚度值对振幅损失的影响更为显著。
   3. 系统的振幅损失量一般均较大，平均约在50%～90%之间。
   : a+ E0 H; P$ [2 W* M. q
2. 振动切削试验
   试验在由普通车床改装成的深孔振动钻床上进行，使用?8mm的内排屑深孔钻，试件材料为45钢，试件直径为?28mm,刀具振幅A=0.05mm,刀具振动频率p=55Hz，机床主轴转速n=1000r/min，进给量f=0.01mm/r。试验后将所得到的切屑尺寸进行测量，附表是实际测量出的切屑尺寸值、理论计算出的切屑尺寸值以及考虑振幅损失后的修正值之间的对照。 % r4 H7 {$ |0 Z/ v0 a: u* Y( P' t0 u# P9 U/ \7 G8 k" P7 m$ I' K4 W+ R. K2 Y3 W Y) R' _8 \ r9 V3 }2 x" m, [- z0 A( A" O, L0 K; x* Z: O8 L: R5 D- G) j! U6 r0 @1 m3 s% q& y! Q- n& H5 i4 E0 ?6 S j/ t3 Z- l5 m( r7 U& O5 c, i1 x2 v+ [7 ?& r4 g$ A& t3 p( K% l& a! C7 i9 E& n6 U3 W4 K/ y6 N' q- [* E* @$ v8 B0 m- C# {3 \) C2 l" C* z# r$ R! |; J$ ?2 {/ c6 v( E) j/ s4 K5 g# o) n0 U# H& t K1 }- y4 l1 t! X9 n9 D. d4 U4 y4 |/ J M4 t2 I$ q' [

   8mm钻头切削的切屑尺寸对比表

   n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	平均值	理论值	修正值
   lc (mm)	2.97	2.89	2.94	2.77	2.86	2.94	2.87	2.87	2.96	2.97	2.90	3.51	3.05

   由上表可以看出，实测切屑长度尺寸的平均值与理论计算值之间存在一定的差距。这种差距产生的原因就是由凸轮—工件—刀具组成的振动钻削加工系统，由于弹性因素使部分振幅值损失，导致与振幅关系密切的切屑尺寸变小。对该切削系统的理论值进行修正，即考虑切削系统中的振幅损失量，可得经修正后的切屑长度尺寸值为3.05mm，可见修正值与实测切屑尺寸的平均值是近似相等的。

4 结论

1. 本文所建立的振动钻削加工系统单自由度动力学模型，把切削系统作为一个整体进行分析，简化了分析的难度，通过对微分方程进行谐波分析，得到了振动钻削加工系统的振幅损失量的解析解。 m2 o6 w' i) F4 j8 c. v
2. 通过电算分析和振动钻削加工试验，结果表明，考虑凸轮—刀具—工件弹性的振动钻削动力学模型，可以有效地估算出系统的振幅损失量。在实际的振动钻削加工中，为了得到预期的断屑效果和切屑尺寸，可以在振幅调整中预先增加其损失部分振幅，这样就可以有效而又主动地对钻削过程进行控制。这一成果对实际的振动钻削加工具有一定的指导作用，为振动钻削加工的自主稳定控制和最终的全面自动化加工打下了良好的基础。

, k3 M. G: R( F6 Y