一种新型的线性分段插值法的研究

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1 引言
在工业生产实践中，系统误差是不可避免而又必须加以校准的。对其较典型的处理是用模型法的非线性校正，即对系统误差进行理论分析和数学处理以建立起系统误差模型，再以此模型确定校正算法和数学表达式。作者在进行系统误差非线性校正中，除采用了传统的分段线性插值法，还根据具体情况采用了作者命名为逐次逼近线性插值法进行处理。通过对两种方法结果的比较，认为逐次逼近线性插值法效果良好，具有一定的实用价值。线性化处理软件编程法分三种方法：计算法、查表法、插值法；其中，插值法又分分段线性插值法、二次插值法、分段曲线拟合法、实验曲线的自动拟合法等。下面先简介分段线性插值法。

# q0 P2 E/ ^& [$ P5 T5 U& j图1
2 分段线性插值法
. k5 P4 @2 @, D! Y* p9 @此法较为常用，基本方法就是将y=f(x)曲线分成几段直线代替曲线。如图1示。
设非线性函数y=f(x)在区间[x0,xm]是单调的。过点(x0,f(x0)),(xm,f(xm))作直线U=F(x)=Ax+B,则在直线段区间中，其拟合误差：
0 n) m6 s+ E% ~! l% R; G  ^D=
) ]5 Y$ ?9 c: h2 O/ K2 T5 N" KF(x)-f(x)
/ D8 U; d9 x# K+ d% h; nf(x)
若该段最大误差点不大于允许误差时，可用直线U=F(x)拟合曲线u=f(x),否则可将区间再细分分化为两个子区间，分别作折线进行误差判断。这样按上述方法不断进行区间划分，直至各子区间m(x)均满足为止。
由于输入-输出函数的非线性，且要求各子区间的拟合最大误差满足△max≤δ,因而各子区间长度不一。这就涉及到了区间划分问题。分段线性插值法使用优选法进行区间划分，即使用系数0.618。如图1所示，从xm处向低值截取xk=0.618(xm-x0)的一段为第二区间，(x0,xk)为第一区间。连接点(xk,f(xk)),(xm,f(xm)),既得区间[xk,xm]的拟合折线为：
) `5 `9 S* ~; F2 C4 S5 E1 MF1=A1x+B1
A1=(f(xm)-f(xk))/(xm-xk),B1=f(xm)-A1x1m
依次类推，可知第i个子区间的拟合折线为：
5 P3 P4 z/ m' H& _- ]* S! zFi=Aix+Bi
  r" [, Y$ I1 d7 wAi=(f(x(i+1)m)-f(xim))/(x(i+1)m-xim),Bi=f(xim)-Aixim
: s, f5 r, i. @5 }+ D3 r& s) U- c! x若f(x)为非单调曲线，则可先通过df/dx=0求出各极点，以便化为单调区，再在各单调区间应用上述方法进行拟合。
& K3 D7 Z% ]0 B2 ?1 h
8 q# z8 c9 m3 s# L/ y& G图2 二分法分段线性插值法
% B9 f; @5 t5 N6 |4 h3 逐次逼近线性插值法

/ S. Y; T$ D4 d' d& g' @. I作者在对分段线性插值法的作用中发现，该法中公式的系数取0.618,这对均匀数组来说易引起编程错觉。如在求区间段中，当m-k=2时，X=x[m]-0.618(x[m]-x[k])，则x[m]