直关系--直线与平面以及两平面的相对位置

lijihua2000008

1.直线与平面垂直
　　几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。
* Q5 O3 z- c  Q# _　　反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。
, C  D* o4 ?8 x4 L7 J8 q　　投影：若一直线的水平投影垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面，则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。
1 w) Z7 m  v+ h0 k  {; q& m# }
  P! w9 @- E/ S; k( U; y　　如图4-18所示，AB和AC分别是△ABC平面上的水平线和正平线，ad⊥ab,
. L8 M/ [" _% D1 a　　aˊdˊ⊥aˊcˊ,则直线AD垂直于平面△ABC。
1 \; M: ]7 [" z　　例1 试求点K到△ABC△ABC平面的距离（图4-19a）
% P6 n" k. M4 `% ~　　解
& Q+ E* ?: n0 n6 X　　分析 求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定该点到垂足之间线段的实长。（图4-19b,4-19c）
　　作图步骤
　　（1）在△ABC平面上任作一水平线BD和正平线AE。
: S2 L8 W8 k6 ]* ]! X/ ^+ y7 K　　（2）自K点向BD、AE引垂线，即作kl⊥bd, kˊlˊ⊥aˊeˊ,得垂线KL。
( p9 e# i" c9 O　　（3）过KL作辅助面P,求出垂线与平面的交点即垂足F。
0 v" L* t4 D/ y2 o8 k9 W　　（4）用直角三角形法求出实长K1f,则K1f即为所求。

. ]6 [9 [4 b8 ^. g6 |# a图4-19
. P2 Q8 }1 r. e6 m, N4 Y; F　　例2：求A点到平面P的距离（图4-20a）
5 c$ P, m& a7 h) h　　作图步骤：
　　（1） 作AK┴P
　　（2） 过AK作正垂辅助面Q
　　（3） 求平面P、Q的交线MN
. H+ w& L" W8 a9 ?. x$ `* i　　（4） 求MN与AK的交点K
, v% s9 c8 b  {- I  ?0 b8 f/ E　　（5） 求AK实长KA1

6 {5 p% I9 N  Q* X! W& F$ Z图 4-20
% Y$ a( A+ k+ N) Q2 R9 W/ I9 {　　例3 已知一个过点A的法线平面（N为法线），试将该平面转换成由两条相交直线表示的平面（4-21a）
. j1 r4 R( X6 ^& T　　解
　　作图步骤（图4-21b）
4 S/ D, h' D5 [, N　　（1）过点A作水平线AK,使ak⊥n;
　　（2）过点K作正平线KL,使kˊlˊ⊥nˊ;
& S6 E" j( c6 ?9 i* b5 l8 y# Y　　（3）两相交直线KA、KL即为所求。
* b) c0 I" O% x- `
0 V. A7 g& |) E$ b2 U图4-21
7 k6 A6 |* D/ v　　2 平面与平面垂直
6 Y. N9 S! d" t$ c　　几何条件：如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上。（图4-22）
0 \4 H8 ^. u0 |  p/ `1 a
( l6 E3 ?( G& r( |) E图4-22                  图4-23
  @. u- p/ c1 J+ S  ?　　例 1 试过直线EF作一平面垂直于平面ABCD(图4-23)
& f+ E' x+ H6 C" P　　解
2 S5 J) s- Q$ h2 K. H1 n　　作图步骤 （1）从直线EF上的任意一点E向平面ABCD引垂线EH;
1 _# w. L, z) a4 H/ Q7 l$ m; p　　（2）则平面FEH垂直于平面ABCD,即为所求。
0 T6 H# O* y+ K' m6 j+ [0 p& f9 }　　例 2 试判断两平面△ABC、△DEL是否相互垂直（图4-24）
　　解
　　分析 根据两平面相互垂直的条件检查
　　作图步骤
　　（1）自△DEL上任意一点，如点E作直线EF垂直于△ABC；
　　（2）在EF上除点E外，任取一点F,检查F点是否在平面△DEL上。由图4-24可以看出，点F不在平面△DEL上，所以两平面不垂直。

图4-24
3.　两一般位置直线垂直
! A. |3 w7 `* u7 ?  B　　作图依据：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上的所有直线。
4 Q1 z7 O9 i0 p0 U" w- w5 X( S* K　　例 试过A点作一条直线，使其与直线BC垂直相交（图4-25a）
3 ?& ^: w3 t3 k; W- C3 Y8 s% [　　解
　　分析 由于BC为一般位置直线，过点A与BC垂直相交的直线也是一般位置直线。所求直线必在过点A且与直线BC垂直的平面内，该平面与直线BC的交点和点A的连线，即为所求（图4-25b）
　　作图步骤 （图4-25c）:
　　（1） 过点A作水平线AD⊥BC,作正平线AE⊥BC;
　　（2） 求直线BC与平面（AD、AE确定）的交点K(k,kˊ);
　　（3） 连接A、K,则AK(ak,aˊkˊ),即为所求。
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% u  m7 k7 a4 O  s; R# Q图4-25 两一般位置直线互相垂直【MechNet】
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